Pedro Neto scoorde kort na de rust en voegde een tweede toe in de blessuretijd om een einde te maken aan de ongeslagen start van Everton in het Premier League-seizoen. De nederlaag bracht ook bezorgdheid over Chelsea-doelman Emiliano Martínez, die met een brancard van het veld werd gedragen na een botsing met Jarrad Branthwaite.
Moyes was bijzonder ontevreden dat Everton-middenvelder Harrison Armstrong een gele kaart had gekregen voor een tackle op Josh Acheampong, omdat hij vond dat de tackle geen waarschuwing verdiende.
"Als ons voetbal in dit land dat niet gaat toestaan, dan weet ik het niet. We hebben scheidsrechters die we de beste van Europa willen laten zijn, of denken dat ze de beste zijn, omdat ze dingen laten doorgaan," zei hij.
"Ik dacht dat het er een halfdegelijk tackle uitzag. Misschien kan iemand me vertellen dat ik het verkeerd heb of iets anders vertellen, maar ik was er niet zeker van dat het de juiste beslissing was."
De Everton-baas geloofde ook dat Chelsea-aanvaller Morgan Rogers een tweede gele kaart had kunnen krijgen voor zijn tackle op James Garner.
"Ik heb even gekeken naar de tackle van Morgan Rogers op Jimmy, wat, misschien zou iemand iets anders hebben gezegd, en ik denk dat dat een tweede gele kaart had kunnen zijn, maar dat was niet het geval," voegde Moyes eraan toe.
Ondanks zijn klachten accepteerde Moyes dat Chelsea over het algemeen de betere ploeg was, hoewel hij vond dat de wedstrijd lange tijd competitief was geweest. Hij was vooral teleurgesteld over het openingsdoelpunt, toen een afgeweken teruglegger gunstig viel voor Neto, en vond dat het tweede doelpunt ook een element van geluk bevatte nadat een vrije trap in de richting van Chelsea stuiterde.
Xabi Alonso zag de prestatie ondertussen als bewijs dat Chelsea leert om moeilijke uitwedstrijden te beheren. Sprekend tegen de officiële website van de club, zei hij: "We zijn erg blij met het resultaat en de prestatie. We hadden zo'n overwinning uit nodig, waar we heel professioneel en serieus hebben gespeeld, en er solide uitzagen. Het was een zeer goede overwinning. We hebben veel dingen goed gedaan."
Alonso prees de kalmte van het team na een onrustige eerste helft en verwelkomde een schone lei, Chelsea's eerste in de competitie dit seizoen.
"We leken de controle over de wedstrijd te hebben, er waren zeker momenten waarop we moesten verdedigen, vooral in de eerste helft, maar over het geheel genomen leek het team volwassen, wist wat te doen in elk moment, en wist dat we ons eigen moment zouden krijgen," zei hij.
Voor Moyes is de taak nu om competitieve periodes om te zetten in resultaten, terwijl Chelsea hoopt dat hun gedisciplineerde optreden een basis kan worden voor grotere consistentie.