James Garner, Hayden Hackney und Thierno Barry trafen für die Gastgeber, während Dan Burn in der Nachspielzeit einen späten Trosttreffer für Newcastle im Hill Dickinson Stadium erzielte.
Grealish wurde aus dem Kader von Everton gestrichen, nachdem der Verein bestätigte, dass er gegen die Disziplinarregeln verstoßen hatte, da der Flügelspieler angeblich nicht zu einer geplanten Trainingseinheit erschienen war.
Moyes weigerte sich, die Einzelheiten zu besprechen, bestand jedoch darauf, dass die Entscheidung seine volle Unterstützung hatte.
"Sie wissen wahrscheinlich, dass ich keine Einzelheiten nennen werde. Es ist eine Vereinsentscheidung und ich unterstütze sie."
Auf die Frage, ob er sich von Grealish enttäuscht fühle, fügte der Everton-Trainer hinzu: "Es ist etwas, über das ich nicht zu viel sprechen möchte."
Moyes war dennoch erfreut, dass die Situation für seine verbleibenden Spieler keine Ablenkung darstellte, die eine überzeugende Leistung zeigten, um den Gegner aus der Premier League auszuschalten.
"Das Eine an Everton ist, dass sie wirklich gute Werte haben, alle Spieler stehen dahinter und akzeptieren die Werte, auf dem Platz und außerhalb des Platzes. Ich denke, die Spieler haben heute Abend einen guten Job gemacht, es ist ein kleiner Kader, aber wir geben unser Bestes, um weiterhin herauszufordern.
"Es war ein hartes Spiel, aber ich denke, die Premier League ist so, die Spiele sind ziemlich eng, man kann 20 Minuten verteidigen und dann angreifen. Wir haben die Tore zu guten Zeiten erzielt, das dritte Tor hat das Spiel entschieden, aber ich bin wirklich froh, weitergekommen zu sein, man kann über Pokalspiele sprechen, das Einzige, was wirklich zählt, ist, dass man weiterkommt."
Garner eröffnete das Scoring in der 34. Minute mit einem curlenden Schuss, nachdem Hackney den Ball nach Druck von Tyrique George auf Amar Dedic in seinen Weg geholfen hatte.
Hackney verdoppelte dann kurz vor der Halbzeit die Führung von Everton, indem er eine Flanke von Barry mit einem Direktabschluss verwandelte.
Newcastle United Trainer Matthias Jaissle war frustriert über die Art und Weise, wie seine Mannschaft verteidigte, obwohl er glaubte, dass das Endergebnis für seine Spieler hart war.
"Wir sind natürlich enttäuscht über das Ergebnis. Es ist auch ein bisschen schockierend, weil das Spiel insgesamt nicht so schlecht war.
"Aber es ist die Geschichte der Saison bisher mit einer Situation, in der es wirklich zählt, uns fehlt der klinische Ansatz, um die Situationen zu lösen.
"Denken Sie nur an das erste, das ist wieder eine Niedrigrisiko-Zone, wo wir gesagt haben, den Ball zu klären, es passiert nichts, und ein paar Sekunden später sehen Sie das Tor aus dem Nichts."
Jaissle war ebenso unzufrieden mit den Umständen rund um das zweite Tor und glaubte, dass Newcastle einen Elfmeter hätte erhalten müssen, bevor Everton sie im Konter bestrafte.
"Das zweite ist auch frustrierend, denn aus meiner Sicht hätten wir auf der anderen Seite einen Elfmeter verdient, und dann versäumen Sie das in der Übergangsphase, um ihren eigenen Strafraum zu verteidigen, was für mich wieder schwer zu akzeptieren ist, wir haben klare Regeln, wie man sich in diesen Angelegenheiten verhalten sollte.
"Und das dritte, wieder ein kritischer Ballverlust, wenn Sie im Ballbesitz sind, und die Position bestraft Sie auf diesem Niveau, ziemlich klar."
Barry vollendete das Scoring in der 69. Minute, nachdem Kiernan Dewsbury-Hall nach vorne gebrochen war und den Ball über den Strafraum gespielt hatte. Burn köpfte den Trosttreffer für Newcastle in der 88. Minute.
Trotz der defensiven Probleme bestand Jaissle darauf, dass sein Team genügend Chancen geschaffen hatte, um den Wettbewerb erheblich enger zu gestalten.
"Das sind die Dinge, die wir schnell lernen müssen, und auf der anderen Seite denke ich, dass Sie alle auch das Spiel und die Statistiken gesehen haben.
"Wir hatten viele, viele Gelegenheiten, viele Möglichkeiten zu scoren, große Chancen ebenfalls, und auch in ihrem Strafraum müssen wir klinischer sein, um ein anderes Ergebnis zu erzielen."
Newcastle hatte auch ein Verletzungsproblem mit William Osula, der nach einem Umknicken des Knöchels beim Versuch eines Schusses nicht weitermachen konnte.
"William Osula konnte nicht weitermachen, er hat sich in diesem Moment den Knöchel verstaucht, als er den Schuss abgegeben hat, und mit den anderen beiden ebenfalls, wir wollten am Ende ein bisschen mehr frische Energie haben," sagte Jaissle.
Moyes wies die Behauptungen zurück, dass die Aussicht auf ein Viertelfinale gegen den Viertligisten Fleetwood Town zusätzliche Motivation gegeben hätte.
"Ich habe es nicht so formuliert und den Spielern überhaupt nichts gesagt. Das war wirklich ein großes Premier-League-Spiel und zu versuchen, eines zu gewinnen, ist nicht einfach.
"Was wir als Nächstes haben, müssen Sie gelassen angehen. Jeder, der Arsenal schlägt, macht einen guten Job."
Everton wird sich nun auf ein weiteres Treffen mit Newcastle in der Premier League am Montag vorbereiten, während der Sieg im Carabao Cup ihnen einen Platz im Viertelfinale gesichert hat.