Kluivert opende de score vanaf de strafschopstip in de achtste minuut, met Marcus Tavernier die een tweede penalty omzette voor de rust. Amine Adli bezegelde vervolgens het resultaat met een fraaie vrije trap in de slotfase, waardoor Marco Rose's team negen punten uit negen in de Europa League heeft.
Voor Kluivert weerspiegelde het resultaat het geloof dat Bournemouth kan concurreren, ongeacht de tegenstander.
"Ik denk dat het veel betekent," zei hij. "We komen van twee overwinningen, dus dat geeft ons een goed gevoel voor deze wedstrijd.
"Wat we zeggen is dat we gewoon op onszelf vertrouwen. Het maakt niet uit tegen wie we spelen, we vertrouwen op onszelf. We weten wat we kunnen, en ik denk dat we dat vanavond weer hebben laten zien."
Milan's taak werd aanzienlijk moeilijker toen doelman Mike Maignan in de 27e minuut werd weggestuurd voor het duwen van Tyler Adams in het gezicht. Maar Kluivert was er op gebrand de statuur van de tegenstander en het belang van het verslaan van een club met de geschiedenis van Milan te erkennen.
"AC Milan heeft veel geschiedenis, het is een geweldige club, een grote club," zei hij.
"Wat ik heb gehoord, wat ik daarvoor niet wist, is dat we vergelijkingen hebben. De kleuren die we hebben, het rood en zwart, komen van AC Milan, dus dat is leuk voor die dingen. Het was een grote wedstrijd vanavond en we hebben gewonnen."
Bournemouth heeft nu drie opeenvolgende Europa League-wedstrijden gewonnen zonder doelpunten te incasseren, en Kluivert wil dat het team die normen handhaaft naarmate het schema voortduurt.
"We weten de reeks die we nu hebben, drie overwinningen, geen doelpunten tegen," zei hij. "Het is iets waar ik trots op ben. We moeten doorgaan, en we weten hoe we kunnen doorgaan, we hebben het eerder gedaan."
De aanvaller gelooft ook dat de concurrentie om plaatsen Rose's selectie zal helpen nu spelers terugkeren van blessures.
"We hebben nu een bijna fitte selectie, en andere jongens komen terug," zei hij. "Concurrentie maakt ons beter.
"Hetgene dat ik leuk vind aan ons team is de intensiteit die we hebben. Het maakt niet uit wie er in de basiself staat, onze intensiteit toont wie we zijn en waar we voor staan. Het maakt niet uit wie speelt, we gaan altijd vol gas."
Kluivert's bereidheid om verantwoordelijkheid te delen was ook duidelijk vanaf de strafschopstip. Na het omzetten van de eerste, liet hij Tavernier de tweede nemen.
"Ik moet genereus zijn, ik moet mijn teamgenoten een goed gevoel geven," zei hij. "Ze verdienen het ook om een penalty te scoren, want ik weet dat ze ook een penalty kunnen scoren.
"Dat toont ook aan dat we een team zijn en geen individuen."
Voor Bournemouth is die collectieve houding gepaard gegaan met een perfecte start in Europa en een gedenkwaardige overwinning op een van de meest versierde clubs van het continent.