Parker's team werd bevestigd als gedegradeerd na de 1-0 nederlaag van vorige week tegen Manchester City in Turf Moor, waarmee een verblijf van één seizoen in de topklasse eindigde. Een beslissing over zijn toekomst wordt binnenkort verwacht.
De Sun's Alan Nixon rapporteert dat Gerrard een koploper is voor de vacature.
"De gerespecteerde figuur woont in het Noordwesten en zou de kans op een uitdaging zoals Burnley met beide handen aangrijpen," schrijft Nixon.
Gerrard, 45, is uit het management sinds hij in januari 2025 op wederzijds goedvinden vertrok bij de Saoedische Pro League club Al-Ettifaq. Hij weigerde de kans om terug te keren naar Rangers in oktober na het ontslag van Russell Martin, en werkt sindsdien als analist voor TNT Sports naast Ally McCoist.
Hij sprak met talkSPORT eerder deze maand over zijn verlangen om terug te keren naar de dug-out.
"Ik ben meer klaar dan ooit. Mijn familie is thuis in Liverpool, de kinderen zijn allemaal gesetteld op school. Ik sta open voor alles. Maar tegelijkertijd jaag ik niet. Ik zoek niet, ik ben niet wanhopig. Ik zit in een goede plek.
"De balans tussen werk en privéleven is op dit moment fantastisch, maar als de juiste kans zich voordoet, sta ik open om daar naar te luisteren. Maar ik heb een geweldige tijd bij TNT met Ally en de jongens en de meisjes, en dek enkele grote wedstrijden."
Gerrard's laatste baan in het Engelse voetbal was bij Aston Villa, waar hij in oktober 2022 werd ontslagen na een slechte start van het seizoen. Hij leidde Rangers naar de Schotse Premiership titel daarvoor -- de eerste van de club in een decennium -- en bereikte de finale van de Europa League in 2022.
Burnley zal er op gebrand zijn om direct terug te keren naar de Premier League en beschouwt Gerrard als een hooggeplaatste aanstelling die in staat is de club te galvaniseren. Parker won de Championship titel in zijn eerste seizoen voordat hij moeite had om de club in de competitie te houden. Of de raad hem behoudt of verder gaat, zal bepalend zijn voor wat een significante zomer in Turf Moor zal worden.