James Garner, Hayden Hackney e Thierno Barry hanno segnato per i padroni di casa, con Dan Burn che ha realizzato un gol della bandiera per il Newcastle allo Hill Dickinson Stadium.
Grealish è stato escluso dalla rosa dell'Everton dopo che il club ha confermato che aveva violato le sue regole disciplinari, con il centrocampista che non si sarebbe presentato a una sessione di allenamento programmata.
Moyes ha rifiutato di discutere i dettagli ma ha insistito che la decisione aveva il suo pieno supporto.
"Probabilmente sapete che non darò dettagli. È una decisione del club e la supporto."
Interrogato se si sentisse deluso da Grealish, il manager dell'Everton ha aggiunto: "È qualcosa di cui non voglio parlare troppo."
Moyes era comunque soddisfatto che la situazione non fosse diventata una distrazione per i suoi giocatori rimasti, che hanno prodotto una prestazione convincente per eliminare l'opposizione della Premier League.
"L'unica cosa riguardo all'Everton è che hanno davvero buoni valori, tutti i giocatori li sostengono e accettano i valori, in campo e fuori dal campo. Penso che i giocatori abbiano fatto un buon lavoro stasera, è una rosa ridotta ma stiamo facendo del nostro meglio per continuare a sfidare."
"È stata una partita difficile ma penso che la Premier League sia così, le partite sono abbastanza equilibrate, puoi difendere per 20 minuti e poi attaccare. Abbiamo segnato nei momenti giusti, il terzo gol ha chiuso la partita ma sono davvero contento di essere passato, puoi parlare di partite di coppa, l'unica cosa che conta davvero è che vuoi passare."
Garner ha aperto le marcature al 34° minuto con un tiro a giro dopo che Hackney ha aiutato la palla nel suo cammino a seguito della pressione di Tyrique George su Amar Dedic.
Hackney ha poi raddoppiato il vantaggio dell'Everton poco prima dell'intervallo, trasformando un cross di Barry con un tiro al volo.
Il manager del Newcastle United Matthias Jaissle era frustrato per il modo in cui la sua squadra ha difeso, anche se credeva che il punteggio finale fosse severo per i suoi giocatori.
"Siamo ovviamente delusi per il risultato. È anche un po' scioccante perché, nel complesso, la partita non è stata così male.
"Ma è la storia della stagione finora con una situazione in cui conta davvero, ci manca l'approccio clinico per risolvere le situazioni.
"Basta pensare al primo, questa è di nuovo una zona a basso rischio dove abbiamo detto di liberare la palla, non succede nulla, e un paio di secondi dopo puoi vedere il gol dal nulla."
Jaissle era altrettanto scontento delle circostanze che hanno circondato il secondo gol, credendo che il Newcastle avrebbe dovuto ricevere un rigore prima che l'Everton li punisse in contropiede.
"Il secondo è anche frustrante, perché dal mio punto di vista meritiamo di avere un rigore dall'altra parte, e poi lo perdi nella transizione per difendere la propria area, che è di nuovo per me difficile da accettare, abbiamo regole chiare su come comportarsi in queste situazioni.
"E il terzo, di nuovo una perdita di palla critica quando sei in possesso, e la posizione ti punisce a quel livello, piuttosto chiaro."
Barry ha completato il punteggio al 69° minuto, segnando dopo che Kiernan Dewsbury-Hall è avanzato e ha consegnato la palla nell'area di rigore. Burn ha segnato il gol della bandiera per il Newcastle all'88° minuto.
Nonostante i problemi difensivi, Jaissle ha insistito che la sua squadra aveva creato abbastanza opportunità per rendere la contesa considerevolmente più equilibrata.
"Queste sono le cose che dobbiamo imparare rapidamente, e dall'altra parte penso che tutti voi abbiate visto anche la partita e le statistiche.
"Abbiamo avuto molte, molte occasioni, molte opportunità di segnare, grandi occasioni, e anche nella loro area dobbiamo essere più clinici per ottenere un risultato diverso."
Il Newcastle ha anche subito un infortunio che coinvolge William Osula, che non è stato in grado di continuare dopo aver storto la caviglia mentre tentava un tiro.
"William Osula non è stato in grado di continuare, ha storto la caviglia in quell'occasione quando ha effettuato il tiro, e con gli altri due volevamo avere un po' più di energia fresca alla fine," ha detto Jaissle.
Moyes ha respinto le suggestioni che la prospettiva di un quarto di finale contro il Fleetwood Town di League Two avesse fornito una motivazione extra.
"Non l'ho formulato in quel modo e non ho detto nulla ai giocatori. Questa era davvero una grande partita di Premier League e cercare di vincere non è facile.
"Quello che abbiamo davanti devi affrontarlo con serenità. Chiunque batta l'Arsenal sta facendo un buon lavoro."
L'Everton si preparerà ora per un altro incontro con il Newcastle nella Premier League lunedì, mentre la vittoria in Carabao Cup ha assicurato loro un posto nei quarti di finale.