Everton a remporté une victoire 1-0 à St James' Park lundi, avec Barry marquant le but décisif à la 49e minute pour offrir à l'équipe de David Moyes un autre résultat important contre les Magpies.
Tarkowski était particulièrement satisfait de la performance de l'équipe en première mi-temps, croyant qu'Everton aurait pu établir un avantage plus confortable avant la pause.
"Je pense que c'était probablement notre meilleure performance de la saison, je pensais que nous étions formidables en première mi-temps et que nous aurions pu marquer deux ou trois buts," a déclaré le défenseur à Sky Sports.
Barry a apporté la touche finale après l'intervalle, poursuivant une période productive devant le but. Tarkowski croit que la contribution de l'attaquant est particulièrement importante compte tenu des options offensives limitées disponibles pour Moyes.
"Thierno marque encore pour nous. Il a beaucoup de responsabilités, c'est notre seul attaquant reconnu donc j'espère qu'il pourra continuer à mettre le ballon au fond comme il l'a fait," a-t-il déclaré.
"Il est sévère envers lui-même mais ses chiffres sont incroyables en termes de course."
Le clean sheet était une autre source de satisfaction pour Tarkowski, qui a souligné qu'Everton doit maintenir ses standards défensifs tout au long d'une longue campagne.
"Un clean sheet est énorme pour nous. C'est une longue saison. Nous la prenons match par match mais ce soir, cela fait du bien et nous pouvons nous projeter sur vendredi [contre Coventry]."
Barry était également heureux de contribuer, expliquant que le travail qu'il a fourni pendant l'été commence à produire les résultats qu'il souhaitait.
"J'ai juste beaucoup travaillé pendant l'été et maintenant nous pouvons voir le résultat. La saison est longue mais je suis heureux d'aider l'équipe avec mes buts," a déclaré l'attaquant.
Le Français a également parlé de ses célébrations, expliquant qu'il est déterminé à profiter davantage de son football après une saison précédente difficile.
"Comme je le dis, je veux profiter plus que la saison dernière et j'ai aimé ma célébration donc je suis heureux."
Barry a également reconnu le défi physique posé par les défenseurs de Newcastle United, désignant Dan Burn et Fabian Schär comme deux des adversaires les plus difficiles qu'il a affrontés cette saison.
"Je pense que Dan Burn et Fabian Schar étaient les défenseurs les plus difficiles que j'ai affrontés cette saison car ils sont vraiment forts mais pour l'attaquant, il suffit de marquer et j'ai gagné mes duels aujourd'hui donc je suis heureux."
Le but était un autre moment encourageant pour Barry, qui a dû assumer une responsabilité significative en tant qu'attaquant reconnu d'Everton. Sa volonté de travailler pour l'équipe, combinée à un retour de buts en amélioration, donne à Moyes un encouragement supplémentaire.
Pour Tarkowski, la performance a offert des preuves qu'Everton progresse, le défenseur étant particulièrement satisfait de leur menace offensive et de leur capacité à protéger leur avantage.
La victoire a également marqué une deuxième victoire sur Newcastle en cinq jours, donnant à Everton un élan alors qu'ils se préparent pour la rencontre de vendredi avec Coventry.