Robertson, 32 ans, quitte Liverpool en tant qu'agent libre lorsque son contrat expirera à la fin de la saison, mettant fin à un séjour de neuf ans à Anfield durant lequel il est devenu l'un des arrières gauches les plus décorés de l'histoire du club.
Fenerbahçe avait invité son agent à Istanbul pour présenter une offre verbale, et l'international écossais aurait pris en considération la proposition avant que les discussions ne stagnent.
La décision du président Sadettin Saran de convoquer des élections a effectivement suspendu la capacité du club à s'engager dans des accords de transfert, aucun contrat ou accord ne devant être finalisé tant que la nouvelle structure de direction n'est pas en place.
Tottenham Hotspur a failli signer Robertson lors du mercato de janvier, les deux clubs s'étant mis d'accord sur un montant d'environ 5 millions de livres avant que Liverpool ne décide de ne pas sanctionner un départ en cours de saison.
Tottenham reste intéressé, sous réserve de conserver son statut en Premier League. Robertson devrait également attirer l'intérêt d'autres clubs de Premier League et d'Italie.
Robertson a fait sa dernière apparition à Anfield contre Crystal Palace le week-end dernier, marquant le deuxième but lors d'une victoire 3-1 avant que Mohamed Salah ne soit contraint de sortir sur blessure.