El internacional argentino se reunió con el entrenador Michael Carrick y altos funcionarios el jueves antes de emitir un comunicado reconociendo que el momento y el lugar de sus comentarios habían sido incorrectos.
"Hoy me reuní con la dirección del club y el entrenador," dijo Martínez en una publicación en redes sociales.
"Fue una conversación muy positiva, donde pudimos intercambiar opiniones y hablar abiertamente sobre lo que sucedió después del partido del martes.
"Todos saben que soy una persona apasionada y que vivo el fútbol con gran intensidad.
"La frustración de la derrota me llevó a expresar cómo me sentía en un momento y lugar que quizás no eran los adecuados, y por eso quiero disculparme."
La controversia comenzó después de que Martínez cuestionara si el United se había reforzado lo suficiente durante la ventana de transferencias de verano. Señaló al director de fútbol Jason Wilcox mientras argumentaba que la plantilla necesitaba más inversión para competir al más alto nivel.
El defensor también dejó claro que su frustración no estaba destinada como una crítica a Carrick, cuyo equipo ha tenido un comienzo difícil en la campaña.
Según el BBC, los comentarios de Martínez han resultado en una respuesta disciplinaria interna, y se entiende que el defensor ha sido multado. El United no ha confirmado públicamente los detalles de ninguna sanción.
La declaración de Martínez también buscó poner fin al desacuerdo y reforzar su compromiso con el club.
"Nuestro club está en su mejor momento cuando todos estamos unidos, y reconozco que mis palabras en ese momento no ayudaron con eso.
"Sé que cada persona en Manchester United está haciendo todo lo posible para lograr nuestra ambición compartida: traer el éxito que este club y sus aficionados merecen.
"Con esta situación ahora detrás de nosotros, estamos completamente enfocados en ganar juntos."
El episodio se ha desarrollado durante una racha difícil para el United. Han obtenido seis puntos de sus primeros seis partidos de la Premier League, han sido eliminados de la Carabao Cup por el Brighton y han perdido ante el Atlético en Europa.
El club debe decidir ahora si Martínez sigue siendo parte de sus planes a largo plazo. Su contrato expira al final de la temporada, aunque el United tiene una opción para extenderlo por un año más.
Su disculpa resuelve la disputa pública inmediata, pero no elimina las preguntas más amplias sobre la estrategia de reclutamiento del United o el futuro de un defensor que ha desafiado a la dirección del club sobre sus ambiciones.