Ebrima Singhateh puso a Sparta por delante en el minuto 35 con un gran esfuerzo individual, pero la posición de los locales se deterioró cuando Tobias Guddal fue expulsado dos minutos después por una segunda tarjeta amarilla.
Bournemouth ya había fallado un penalti a través de Lewis Cook, pero aprovechó su superioridad numérica después del descanso. Adams empató en el minuto 57 antes de que Evanilson pusiera a los visitantes por delante a nueve minutos del final. Rayan completó el marcador en el minuto 90.
El entrenador de Sparta, Brian Priske, estaba orgulloso de la actuación de sus jugadores en la primera mitad, a pesar de la eventual derrota.
"Los jugadores lo hicieron muy bien en la primera mitad y fuimos el mejor equipo hasta la tarjeta roja," dijo UEFA.
"Era obvio que iba a ser difícil a partir de ahí. Hicimos bien hasta que concedimos el gol, pero tengo que alabar a mis jugadores que dominaron a un fuerte equipo de la Premier League durante un largo período de tiempo."
Priske también lamentó la forma en que Bournemouth anotó, señalando errores en la posesión.
"Sabíamos que íbamos a sufrir en la segunda mitad, pero intentamos ser compactos. Es una pena que los tres goles vinieran de pérdidas de balón de nuestra parte, uno o dos de ellos fueron demasiado fáciles. Al final, Bournemouth demostró que son un muy buen equipo de la Premier League."
Estaba particularmente satisfecho con el gol inicial de Singhateh, que llegó de un pase largo del portero.
"Fue un gol brillante, sabemos lo que Ebrima Singhateh puede ofrecernos en estas transiciones. Fue un pase perfecto del portero y [buena ejecución] de Singha para finalizarlo."
El entrenador de Bournemouth, Marco Rose, estaba satisfecho con la respuesta de su equipo tras un difícil periodo inicial.
"Fallamos un penalti y concedimos un gol, pero nuestra reacción en la segunda mitad fue realmente buena," dijo.
"Sabíamos que teníamos un buen once inicial y un banco realmente bueno para hacer cambios. Es una muy buena señal para el equipo."
Rose añadió: "Sin portería a cero, pero ganamos y esto es lo más importante. [Fue] un partido difícil contra un buen oponente. Ellos hicieron que fuera realmente difícil para nosotros entrar en nuestro juego. Luchamos un poco en nuestras combinaciones al principio, pero estábamos listos y tuvimos una buena actitud."
El jefe de Bournemouth espera que su equipo pueda llevar su progreso europeo más lejos.
"Nos gustaría llegar lo más lejos posible. Disfrutamos del momento, disfrutamos estar en Europa y nuestros aficionados viajaron con nosotros de nuevo. Lo primero es que queremos llegar a la [fase de eliminación directa] y luego ya veremos."