Der Norweger wurde zum Spieler des Spiels beim Sieg im Community Shield im Principality Stadium in Cardiff ernannt und krönte eine dominante Arsenal-Darbietung mit einem Tor, das zu Riccardo Calafioris frühem Führungstreffer und einem Treffer von Kai Havertz hinzukam.
Das Ergebnis hat Ødegaard hungrig nach mehr gemacht, während Arsenal sich darauf vorbereitet, am Freitag die Titelverteidigung in der Premier League gegen Coventry City zu eröffnen.
"Wir wollten unser Niveau zeigen", sagte er. "Natürlich haben wir letztes Jahr die Liga gewonnen. Aber in diesem Jahr wollen wir mehr.
"Es gibt noch viel mehr zu spielen. Wir wollen es wieder in der Liga machen und dann gibt es die anderen Trophäen. Es gibt viel zu arbeiten und noch viel Raum für Verbesserungen."
Ødegaard lobte besonders den £75 Millionen teuren Neuzugang Bruno Guimarães, der sein erstes Arsenal-Spiel seit seinem teuren Wechsel von Newcastle machte, bevor er zur Halbzeit mit einem Eisbeutel ersetzt wurde. Der Brasilianer fand schnell seinen Platz in der Mannschaft, drängte mit Entschlossenheit nach vorne und suchte während seiner 45 Minuten auf dem Platz nach offensiven Pässen.
Ødegaard, der zuvor mit Guimarães während ihrer Duelle im Mittelfeld der Premier League aneinandergeraten war, sagte, das Paar habe in den Arsenal-Farben sofort ein Verständnis gefunden.
"Es war wirklich gut, wirklich natürlich. Seit dem ersten Tag, an dem er hier ist, war es so eine natürliche Sache. Obwohl wir in der Vergangenheit einige große Kämpfe hatten, ist er einfach als ein wirklich natürlicher Teil des Teams in die Mannschaft gekommen."
Er ging weiter darauf ein, was seinen neuen Mittelfeldpartner besonders macht.
"Und man kann seine Qualität sehen. Er kann den Ball gewinnen, er ist ein Kämpfer, aber er hat auch so viel Qualität am Ball. Er hat das, was kann ich sagen... er ist so ruhig am Ball. Er nimmt sich immer die richtige Zeit und findet den Pass."
Der Kapitän fügte hinzu, dass der Eindruck von Guimarães' allererster Beteiligung im Training sofort spürbar war.
"Von der ersten Sekunde, in der er im Training ist, kann man diese Präsenz und Qualität spüren. Er ist ein brillanter Spieler. Ich freue mich darauf."
Arsenals Sieg über City markierte den 18. Community Shield-Titel des Vereins und setzte eine perfekte Serie in ihren letzten sechs Auftritten in diesem Wettbewerb fort, was einen frühen Hinweis auf die Absichten gab, bevor das ernsthafte Geschäft der Premier-League-Saison an diesem Wochenende beginnt.
Ødegaard selbst beendete eine persönliche Durststrecke von 20 Spielen ohne Tor und traf zum ersten Mal seit Dezember, was sowohl eine persönliche Erklärung als auch eine kollektive für den Arsenal-Kapitän war.