James Garner, Hayden Hackney e Thierno Barry marcaram para os anfitriões, com Dan Burn garantindo um consolo tardio para o Newcastle no Hill Dickinson Stadium.
Grealish foi omitido da convocação do Everton após o clube confirmar que ele havia violado suas regras disciplinares, com o ponta supostamente não comparecendo a uma sessão de treinamento agendada.
Moyes se recusou a discutir os detalhes, mas insistiu que a decisão tinha seu total apoio.
"Você provavelmente sabe que não vou dar detalhes. É uma decisão do clube e eu a apoio."
Questionado se se sentia decepcionado com Grealish, o treinador do Everton acrescentou: "É algo sobre o qual não quero falar muito."
Moyes, no entanto, ficou satisfeito que a situação não se tornasse uma distração para seus jogadores restantes, que produziram uma performance convincente para eliminar a oposição da Premier League.
"A única coisa sobre o Everton é que eles têm valores realmente bons, todos os jogadores apoiam e aceitam esses valores, dentro e fora de campo. Acho que os jogadores fizeram um bom trabalho esta noite, é um elenco pequeno, mas estamos fazendo o nosso melhor para continuar desafiando."
"Foi um jogo difícil, mas acho que a Premier League é assim, os jogos são bastante equilibrados, você pode estar defendendo por 20 minutos e depois atacando. Nós marcamos os gols em bons momentos, o terceiro gol matou o jogo, mas estou realmente feliz por ter passado, você pode falar sobre jogos de copa, a única coisa que realmente importa é que você quer passar."
Garner abriu o placar no 34º minuto com um chute curvado após Hackney ajudar a bola em seu caminho, seguindo a pressão de Tyrique George sobre Amar Dedic.
Hackney então dobrou a vantagem do Everton pouco antes do intervalo, convertendo um cruzamento de Barry com um chute de primeira.
O treinador do Newcastle United, Matthias Jaissle, ficou frustrado com a maneira como sua equipe defendeu, embora acreditasse que o placar final foi severo para seus jogadores.
"Estamos, é claro, decepcionados com o resultado. Também é um pouco chocante porque, no geral, o jogo não foi tão ruim.
"Mas é a história da temporada até agora, com uma situação onde realmente conta, estamos faltando na abordagem clínica para resolver as situações.
"Apenas pense sobre o primeiro, esta é novamente uma zona de baixo risco onde dissemos, limpe a bola, nada acontece, e alguns segundos depois você pode ver o gol sair do nada."
Jaissle estava igualmente insatisfeito com as circunstâncias que cercaram o segundo gol, acreditando que o Newcastle deveria ter recebido um pênalti antes que o Everton os punisse no contra-ataque.
"O segundo também é frustrante, porque do meu ponto de vista merecemos ter um pênalti do outro lado, e então você perde isso na transição para defender sua própria área, o que é novamente difícil para mim aceitar, temos regras claras sobre como nos comportar nesses assuntos.
"E o terceiro, novamente uma perda crítica de bola quando você está em posse, e a posição está te punindo nesse nível, bem claro."
Barry completou a contagem no 69º minuto, finalizando após Kiernan Dewsbury-Hall avançar e entregar a bola pela área penal. Burn cabeceou o consolo do Newcastle no 88º minuto.
Apesar dos problemas defensivos, Jaissle insistiu que sua equipe havia criado oportunidades suficientes para tornar a disputa consideravelmente mais próxima.
"Essas são as coisas que precisamos aprender rapidamente, e por outro lado, acho que todos vocês também viram o jogo e as estatísticas.
"Tivemos muitas, muitas ocasiões, muitas oportunidades de marcar, grandes chances também, e também em sua área precisamos ser mais clínicos para obter um resultado diferente."
O Newcastle também sofreu uma preocupação com lesão envolvendo William Osula, que não conseguiu continuar após torcer o tornozelo ao tentar um chute.
"William Osula não pôde continuar, ele torceu o tornozelo naquela ocasião quando fez o chute, e com os outros dois também, queríamos ter um pouco mais de energia fresca no final," disse Jaissle.
Moyes descartou sugestões de que a perspectiva de um quartas de final contra o Fleetwood Town da League Two tivesse proporcionado motivação extra.
"Eu não formulei dessa maneira e não disse nada aos jogadores. Este foi realmente um grande jogo da Premier League e tentar vencer qualquer um não é fácil.
"O que temos a seguir você precisa levar na sua caminhada. Qualquer um que vence o Arsenal está fazendo um bom trabalho."
O Everton agora se preparará para outro encontro com o Newcastle na Premier League na segunda-feira, enquanto a vitória na Carabao Cup garantiu a eles um lugar nas quartas de final.