De 30-jarige zette zijn handtekening tijdens een ceremonie in Valdebebas naast clubpresident Florentino Pérez, met erepresident Pirri ook aanwezig.
Dumfries ontving een replica van het stadion, een horloge en een shirt met zijn naam voordat hij voor het eerst poseerde voor foto's als speler van Real Madrid.
"Ik ben erg trots om hier te spelen, ik ben zeer dankbaar en ik kijk ernaar uit om het seizoen te beginnen," zei Dumfries.
"Voor iedereen is het een droom om voor Real Madrid te spelen. Hier zijn is natuurlijk een grote verantwoordelijkheid, omdat we belangrijke doelen hebben. Ik ben erg trots en erg blij om hier te zijn.
"Ik ben klaar om te beginnen."
De ondertekening vervult een duidelijke behoefte op de rechtsbackpositie na het vertrek van Dani Carvajal, waardoor hoofdcoach Jose Mourinho twee contrasterende opties in die positie heeft. Real Madrid activeerde de afkoopsom van Dumfries, die rond de €20 miljoen werd gerapporteerd, om hem weg te halen bij Inter Milan na vijf sterke seizoenen in Italië, waarin hij 207 wedstrijden speelde, 27 doelpunten scoorde en 28 assists gaf, en twee Serie A-titels won en twee Champions League-finale bereikte.
"Het is een zeer belangrijke wedstrijd. De eerste wedstrijd is altijd erg belangrijk en natuurlijk gaan we daarheen om te winnen," zei Dumfries, terwijl hij vooruitkijkt naar de LaLiga-openingswedstrijd van Real Madrid. "Ik ben blij dat ik mijn debuut in de competitie kan maken. Ik kijk ernaar uit dat de wedstrijd eraan komt en dat ik deze nieuwe reis met iedereen kan beginnen. Laten we ervoor gaan morgen."
Zijn Europese pedigree is aanzienlijk. In de halve finale van de Champions League van vorig seizoen tegen Barcelona produceerde Dumfries een memorabele individuele prestatie, scoorde hij twee keer en zette hij drie verdere doelpunten op. Nu 30 en op het hoogtepunt van zijn kunnen, arriveert hij in het Santiago Bernabéu in de hoop dat zijn kracht en aanvallende dreiging doorslaggevend kunnen zijn.
De uitdaging zal niet eenvoudig zijn. Dumfries zal strijden om de rechtsbackpositie met Trent Alexander-Arnold, een van de marquee aanwinsten van de club voor die positie, hoewel Mourinho al heeft geëxperimenteerd met het samenstellen van beide spelers, wat de deur opent naar een Madrid-elftal met meer diepte en variatie aan de rechterflank. Dumfries zal het nummer 24 shirt dragen.