Everton verzekerde zich van een 1-0 overwinning in St James' Park op maandag, met Barry die het beslissende doelpunt scoorde in de 49e minuut om David Moyes' ploeg een ander belangrijk resultaat tegen de Magpies te geven.
Tarkowski was bijzonder tevreden over de eerste helft van het team, en geloofde dat Everton voor de pauze een comfortabeler voordeel had kunnen opbouwen.
"Ik denk dat het waarschijnlijk onze beste prestatie van het seizoen was, ik vond dat we geweldig waren in de eerste helft en twee of drie doelpunten hadden kunnen scoren," zei de verdediger. Sky Sports.
Barry zorgde na de pauze voor de afronding, en zette zijn productieve periode voor het doel voort. Tarkowski gelooft dat de bijdrage van de aanvaller bijzonder belangrijk is gezien de beperkte aanvallende opties die Moyes tot zijn beschikking heeft.
"Thierno scoort weer voor ons. Er ligt veel druk op zijn schouders, hij is onze enige erkende spits, dus hopelijk kan hij de bal blijven scoren zoals hij heeft gedaan," zei hij.
"Hij is hard voor zichzelf, maar zijn cijfers zijn geweldig als het gaat om hardlopen."
De clean sheet was een andere bron van tevredenheid voor Tarkowski, die benadrukte dat Everton hun defensieve normen moet handhaven gedurende een lang seizoen.
"Een clean sheet is enorm voor ons. Het is een lang seizoen. We nemen het wedstrijd voor wedstrijd, maar vanavond voelt goed en we kunnen uitkijken naar vrijdag [tegen Coventry]."
Barry was ook blij om bij te dragen, en legde uit dat het werk dat hij in de zomer heeft verricht nu begint resultaten op te leveren.
"Ik heb gewoon veel gewerkt tijdens de zomer en nu kunnen we het resultaat zien. Het seizoen is lang, maar ik ben blij om het team te helpen met mijn doelpunten," zei de aanvaller.
De Fransman sprak ook over zijn vieringen, en legde uit dat hij vastbesloten is om meer van zijn voetbal te genieten na een moeilijk vorig seizoen.
"Zoals ik al zei, ik wil meer genieten dan vorig seizoen en ik genoot van mijn viering, dus ik ben blij."
Barry erkende ook de fysieke uitdaging die de verdedigers van Newcastle United met zich meebrachten, en noemde Dan Burn en Fabian Schär als twee van de moeilijkste tegenstanders die hij dit seizoen heeft ontmoet.
"Ik denk dat Dan Burn en Fabian Schar de moeilijkste verdedigers waren die ik dit seizoen heb ontmoet omdat ze echt sterk zijn, maar voor de aanvaller moet je gewoon scoren en ik won mijn duels vandaag, dus ik ben blij."
Het doelpunt was een ander bemoedigend moment voor Barry, die aanzienlijke verantwoordelijkheid heeft moeten dragen als de erkende centrumspits van Everton. Zijn bereidheid om voor het team te werken, in combinatie met een verbeterende doelpuntenproductie, geeft Moyes verdere aanmoediging.
Voor Tarkowski bood de prestatie bewijs dat Everton vooruitgang boekt, waarbij de verdediger vooral tevreden was over hun aanvallende dreiging en het vermogen om hun voordeel te beschermen.
De overwinning voltooide ook een tweede zege op Newcastle in vijf dagen, wat Everton momentum geeft terwijl ze zich voorbereiden op de ontmoeting met Coventry op vrijdag.