James Garner, Hayden Hackney en Thierno Barry scoorden voor de thuisploeg, terwijl Dan Burn een late troostgoal voor Newcastle maakte in het Hill Dickinson Stadium.
Grealish werd weggelaten uit de selectie van Everton nadat de club bevestigde dat hij de disciplinaire regels had overtreden, waarbij de vleugelspeler naar verluidt niet was verschenen op een geplande training.
Moyes weigerde de details te bespreken, maar benadrukte dat de beslissing zijn volledige steun had.
"Je weet waarschijnlijk dat ik geen details ga geven. Het is een clubbeslissing en ik steun het."
Toen hem werd gevraagd of hij zich teleurgesteld voelde door Grealish, voegde de manager van Everton toe: "Het is iets waar ik niet te veel over wil praten."
Moyes was desondanks blij dat de situatie geen afleiding werd voor zijn resterende spelers, die een overtuigende prestatie leverden om de Premier League tegenstander uit te schakelen.
"Het enige dat over Everton te zeggen is, is dat ze echt goede waarden hebben, alle spelers staan erachter en accepteren de waarden, op het veld en daarbuiten. Ik denk dat de spelers vanavond goed werk hebben geleverd, het is een kleine selectie maar we doen ons best om te blijven uitdagen."
"Het was een zware wedstrijd, maar ik denk dat de Premier League zo is, wedstrijden zijn vrij close, je kunt 20 minuten verdedigen en dan aanvallen. We scoorden op goede momenten, het derde doelpunt maakte de wedstrijd af, maar ik ben echt blij dat we doorgaan, je kunt het over bekerwedstrijden hebben, het enige dat echt telt is dat je wilt doorgaan."
Garner opende de score in de 34e minuut met een krullend schot nadat Hackney de bal in zijn pad hielp na druk van Tyrique George op Amar Dedic.
Hackney verdubbelde vervolgens de voorsprong van Everton kort voor de rust, door een voorzet van Barry met een eerste schot te converteren.
Newcastle United manager Matthias Jaissle was gefrustreerd over de manier waarop zijn team verdedigde, hoewel hij geloofde dat de eindstand hard was voor zijn spelers.
"We zijn natuurlijk teleurgesteld over het resultaat. Het is ook een beetje schokkend omdat de wedstrijd over het algemeen niet zo slecht was.
"Maar het is het verhaal van het seizoen tot nu toe met een situatie waarin het echt telt, we missen de klinische aanpak om de situaties op te lossen.
"Denk alleen aan de eerste, dit is weer een laag-risicozone waar we zeiden, ruim de bal op, er gebeurt niets, en een paar seconden later zie je het doelpunt uit het niets."
Jaissle was ook ontevreden over de omstandigheden rond het tweede doelpunt, en geloofde dat Newcastle een penalty had moeten krijgen voordat Everton hen op de tegenaanval strafte.
"Het tweede doelpunt is ook frustrerend, omdat we naar mijn mening een penalty verdienen aan de andere kant, en dan mis je dat in de overgang om hun eigen strafschopgebied te verdedigen, wat voor mij weer moeilijk te accepteren is, we hebben duidelijke regels over hoe te gedragen in deze zaken.
"En het derde doelpunt, weer een kritieke balverlies wanneer je in balbezit bent, en de positie straft je op dat niveau, vrij duidelijk."
Barry voltooide de score in de 69e minuut, door te scoren nadat Kiernan Dewsbury-Hall naar voren brak en de bal door het strafschopgebied afleverde. Burn kopte de troostgoal voor Newcastle in de 88e minuut.
Ondanks de defensieve problemen, benadrukte Jaissle dat zijn team genoeg kansen had gecreëerd om de wedstrijd aanzienlijk dichterbij te brengen.
"Dit zijn de dingen die we snel moeten leren, en aan de andere kant denk ik dat jullie allemaal ook de wedstrijd en de statistieken hebben gezien.
"We hadden veel, veel kansen, veel mogelijkheden om te scoren, grote kansen ook, en ook in hun strafschopgebied moeten we klinischer zijn om een ander resultaat te behalen."
Newcastle had ook een blessurezorg rond William Osula, die niet verder kon spelen nadat hij zijn enkel had verdraaid tijdens het proberen van een schot.
"William Osula kon niet verder, hij verdraaide zijn enkel in die situatie toen hij het schot nam, en met de andere twee ook, we wilden aan het einde wat meer frisse energie hebben," zei Jaissle.
Moyes verwierp suggesties dat het vooruitzicht op een kwartfinale tegen League Two Fleetwood Town extra motivatie had gegeven.
"Ik heb het niet zo geformuleerd en helemaal niets tegen de spelers gezegd. Dit was echt een grote Premier League-wedstrijd en proberen om te winnen is niet gemakkelijk.
"Wat we nu hebben moet je gewoon accepteren. Iedereen die Arsenal verslaat, doet goed werk."
Everton zal zich nu voorbereiden op een nieuwe ontmoeting met Newcastle in de Premier League op maandag, terwijl de overwinning in de Carabao Cup hen een plaats in de laatste acht heeft verzekerd.