De Tsjechische doelman maakte 41 Championship-optredens op huurbasis bij Bristol City afgelopen seizoen en wordt de zevende zomeraankoop van Boro, die de campagne opende met een 1-0 overwinning op Wrexham in de Carabao Cup op vrijdag.
Middlesbrough heeft de vergoeding of de duur van het contract niet bekendgemaakt, hoewel rapporten elders de totale waarde van de deal op maximaal £14 miljoen inclusief bonussen hebben geschat.
Vitek legde zijn gedachten achter de overstap uit in opmerkingen op de officiële website van de club, wijzend op de ambitie die hij heeft gezien bij de Riverside.
"Het project hier is zeer indrukwekkend, omdat je duidelijk de ambitie kunt zien en waar de club naartoe wil," zei hij. "De missie is duidelijk: naar de Premier League gaan.
"Ik denk dat iedereen bij de club die mindset heeft, en ik wil hetzelfde."
De 22-jarige, die drieënhalf jaar bij United onder contract stond zonder een eerste teamoptreden voor Manchester United te maken, zou zijn Boro-debuut kunnen maken in de Championship-openingswedstrijd thuis tegen de nieuw gepromoveerde Lincoln City volgende zaterdag, terwijl hij zich wil vestigen als Middlesbrough's nummer één in de zoektocht naar een terugkeer naar de Premier League.