Lingard, die United verliet toen zijn contract in 2022 afliep na 20 jaar bij de club, voegde zich in januari bij Corinthians na periodes bij Nottingham Forest en FC Seoul.
Hij heeft de opmerkelijke ommekeer van zijn voormalige club sinds de aanstelling van Carrick in januari met grote belangstelling gevolgd.
"Ik denk dat ze echt op de goede weg zijn met Michael. Ik ken hem van mijn tijd bij United. Ik weet hoe hij opereert. De jongens doen het echt goed onder hem. Hij heeft dat Manchester United DNA in zich. Hij kent de ins en outs van de club."
Lingard ging ook in op de Ballon d'Or discussie rondom Bruno Fernandes en steunde de aanvoerder van Portugal nadrukkelijk, nadat Paul Pogba deze week suggereerde dat Fernandes voor de prijs in aanmerking zou komen als hij voor een sterkere ploeg speelde.
"100%. Zijn prestaties bij Manchester United dit seizoen zijn buitengewoon geweest. Hij moet daarboven staan."
Lingard paste zich snel aan het leven bij Corinthians aan. Voormalig teamgenoot Memphis Depay, die al bij de club was, hielp de overgang vergemakkelijken. Hij scoorde vorige week zijn eerste doelpunt in de Copa do Brasil en leert Portugees zonder vertaler.
"Ik had het nog nooit eerder meegemaakt -- fans die het trainingscomplex binnenkomen, met ons praten. Je ziet hoe gepassioneerd ze zijn dat we goed presteren en winnen. Het geeft ons alleen maar meer reden om op wedstrijddagen te winnen."
Over waarom hij voor Brazilië koos boven andere aanbiedingen, vertelde hij BBC Sport: "Het is nog steeds voetbal op hoog niveau. Ik denk dat ik op hoog niveau kan spelen. Voor mij ging het gewoon om de competitie -- hoe groot de club hier is, hoe groot de competitie is. Ik had aanbiedingen op tafel, maar ik wil mezelf nog steeds testen. Ik ben hier gekomen om een trofee te winnen."
Over het Wereldkampioenschap steunde Lingard Engeland.
"We hebben altijd een goede kans gehad. Ik denk dat we het altijd goed doen in grote toernooien. Ik geloof in de jongens. Ik weet hoe goed ze zijn, dus ik zie niet in waarom niet."