Walker, 36, kwam afgelopen zomer op een tweejarig contract bij Burnley van Manchester City in een deal van £5 miljoen, nadat een voorgestelde overstap naar Everton mislukte en na een eerdere bijna-misser met de club uit Merseyside als tiener.
De 96-voudig Engelse international maakte 35 Premier League-starts voor Burnley afgelopen seizoen, maar kon hun degradatie niet voorkomen, en hij opende dit seizoen door de winnende penalty te scoren in de overwinning op Notts County in de strafschoppenserie van de Carabao Cup op zaterdag.
Mocht hij de overstap naar Goodison Park maken, dan zou dit voor een nominale vergoeding zijn, wat manager David Moyes een goedkope, ervaren optie zou geven om eindelijk een positie te vervullen die Everton al meerdere transferwindows heeft gekweld, meldt The Sun.
De inkomende zaken van Everton hebben al één opvallend moment buiten het veld opgeleverd. Nieuwe aanwinst Brennan Johnson gaf een scherpe reactie op de talkSPORT-presentatoren Jamie O'Hara en Gabby Agbonlahor na zijn komst naar de Toffees van Crystal Palace, in een ruildeal waarbij Dwight McNeil de andere kant op naar Selhurst Park verhuisde.
De uitwisseling volgde op O'Hara's on-air beschrijving van de ruil als het verwisselen van "c**p voor c**p," een opmerking waarvoor hij later excuses aanbood samen met Agbonlahor.
Johnson reageerde op Instagram met een eenvoudige boodschap gericht aan beide analisten: "Heb meer gewonnen dan deze twee samen."
De claim houdt stand: Johnson is een winnaar van de Europa League uit zijn tijd bij Tottenham en een winnaar van de Europa Conference League met Palace, en won ook de play-off finale van het Championship met Nottingham Forest eerder in zijn carrière. O'Hara's enige grote eer is een League Cup met Spurs in 2008, terwijl Agbonlahor nooit een trofee won in zijn speelcarrière.
De ruzie begon toen Agbonlahor de teleurstellende statistieken van de twee spelers van vorig seizoen vergeleek, wat O'Hara's grove samenvatting van de ruil uitlokte, waar het duo vervolgens live om lachte. O'Hara zei later dat de opmerkingen uit hun context waren gehaald, en benadrukte op sociale media dat hij de slechte vorm van het duo van vorig seizoen besprak in plaats van hen als spelers af te schrijven, terwijl Agbonlahor een aparte verontschuldiging deed, zeggende dat hij voor Johnson had moeten "opkomen" in plaats van mee te lachen.
Johnson, 25, heeft een vierjarig contract bij Everton getekend, slechts zeven maanden nadat hij voor een toen clubrecordbedrag van £35 miljoen van Spurs naar Palace was gekomen, een overstap die een medaille van de winnaar van de Conference League opleverde, maar geen doelpunten en slechts twee assists in 26 optredens voor de Eagles.