De Premier League-club heeft een bod uitgebracht op de 26-jarige, terwijl de gesprekken over een mogelijke transfer nu aan de gang zijn.
Het blijft nog te bezien of de transfer doorgaat. Anthony kwam in de zomer van 2024 op huurbasis naar Burnley voordat de transfer permanent werd gemaakt.
Sindsdien is de Engelsman een belangrijke speler voor de club geworden. Burnley eindigde als 19e in de Premier League afgelopen seizoen en zal volgend seizoen Championship-voetbal spelen.
Anthony had nog steeds een productieve campagne, met acht doelpunten en twee assists in 37 competitiewedstrijden, waarvan 32 als basis speler.
Hij heeft een contract bij Burnley tot de zomer van 2029. Brentford eindigde als negende in de Premier League afgelopen seizoen.
Anthony heeft eerder gespeeld voor Leeds United en Bournemouth in een eerder stadium van zijn carrière.