De 22-jarige vleugelspeler, die is beschreven als de volgende Alexis Sanchez, is onlangs in verband gebracht met een transfer naar het Emirates Stadium terwijl Mikel Arteta zijn aanval wil versterken.
Osorio, wiens contract bij de MCH Arena afloopt in juni 2030, kwam vorig seizoen 49 keer in actie voor de Deense club in alle competities, scoorde acht doelpunten en gaf 10 assists.
Als een belangrijke speler in het team van Mike Tullberg hielp de Chileense international Midtjylland de Deense Beker te winnen.
Zijn indrukwekkende prestaties zijn niet onopgemerkt gebleven en zouden de belangstelling van enkele top Europese clubs hebben getrokken, waaronder Arsenal.
Vorige maand bevestigde de sportieve directeur van Midtjylland in een gesprek met het Chileense medium ADN Deportes dat Arsenal Osorio in de gaten houdt.
"We weten dat Arsenal geïnteresseerd is in Osorio, maar we weten ook dat andere Premier League-clubs hetzelfde hebben gedaan," zei Kristian Kjaer, die vervolgens uitlegde waarom de Chileen klaar zou kunnen zijn om zichzelf in de Engelse topcompetitie te testen.
"Volgens mij past de Premier League heel goed bij hem omdat hij een zeer hardwerkende mentaliteit heeft," vervolgde de voormalige scout van Brentford.
"Zijn defensieve overgangen zijn ongelooflijk, zijn topsnelheid is ongelooflijk. Hij is een linksbenige rechter vleugelspeler die naar beide kanten van zijn directe tegenstander kan gaan. Hij heeft alles. In Chili wordt hij beschouwd als de volgende Alexis Sanchez. Ik denk dat hij een verschil kan maken in de Premier League."
Volgens ADN Deportes, hebben Benfica sindsdien zich bij de race gevoegd om Osorio te tekenen.
Het rapport beweert dat Marco Silva een bewonderaar was van de Chileen tijdens zijn tijd bij Fulham en hem nu naar Lissabon wil halen.
Het voegt eraan toe dat Osorio beschikbaar zou kunnen zijn voor €12 miljoen, wat £10,3 miljoen is, tot €15 miljoen, wat £12,9 miljoen is, maar Midtjylland heeft nog geen officiële prijs vastgesteld.
Zoals het er nu uitziet, is het onduidelijk of Arsenal een bod zal uitbrengen op de aanvaller, maar Arteta is zeker vastbesloten om zijn aanval deze zomer te versterken.