Rodriguez ha firmato un contratto di cinque anni allo stadio Vitality, offrendo a Marco Rose un'opzione offensiva aggiuntiva accanto a Evanilson in vista della prima campagna europea del Bournemouth.
L'internazionale uruguaiano arriva dopo una forte stagione 2025/26 in La Liga, segnando sette gol e fornendo cinque assist in 24 titolari e 10 presenze da subentrato per l'Elche, con due di questi gol realizzati contro il Real Madrid e il Barcellona.
Nato a Palamós, Rodriguez ha iniziato la sua carriera giovanile al Girona prima che l'accademia La Fábrica del Real Madrid lo firmasse nel 2020. Ha trascorso cinque anni nella capitale spagnola, facendo il suo debutto da senior sotto Carlo Ancelotti a 18 anni nel gennaio 2023 e assistendo a un gol nel suo esordio in La Liga. Il suo primo gol per il club è arrivato nella sua successiva apparizione in campionato, un drammatico pareggio nel derby di Madrid, saltando per colpire di testa un corner di Luka Modric contro l'Atletico Madrid.
Rodriguez ha poi collezionato 10 presenze da senior per i 15 volte campioni europei prima di un prestito al Getafe, e ha firmato per l'Elche nell'estate del 2025.
Il responsabile delle operazioni calcistiche del Bournemouth, Tiago Pinto, ha dichiarato: "Siamo davvero felici di rafforzare le nostre opzioni offensive con un attaccante giovane così talentuoso. Per qualcuno così giovane, Alvaro ha già una buona esperienza a un livello molto alto e arriva dopo aver giocato un ruolo importante per l'Elche in La Liga la scorsa stagione.
"Crediamo che abbia un pedigree eccezionale e un enorme potenziale, ed è anche in grado di avere un impatto immediato mentre ci prepariamo per una campagna entusiasmante che include il calcio europeo. Non vediamo l'ora di accoglierlo nel gruppo e di vederlo continuare il suo sviluppo sotto Marco."
Rodriguez ha dichiarato che firmare per le Cherries ha soddisfatto un'ambizione di lunga data.
"Sembra un grande privilegio essere qui. Ho sempre voluto giocare in Premier League e ora, nel giorno del mio compleanno, quel sogno è diventato realtà. È stato un sogno fin da bambino. Quando il mio agente mi ha detto che il Bournemouth era interessato, non potevo crederci. Tutto ciò che ho vissuto finora mi ha preparato per questo prossimo capitolo, e ora voglio continuare a migliorare e mostrare ciò che posso fare."
La firma segna il primo acquisto del Bournemouth nella finestra estiva mentre si preparano per una stagione che includerà la loro prima apparizione in competizioni europee.