James Garner, Hayden Hackney et Thierno Barry ont marqué pour les hôtes, avec Dan Burn inscrivant un but de consolation tardif pour Newcastle au Hill Dickinson Stadium.
Grealish a été omis de l'effectif d'Everton après que le club a confirmé qu'il avait enfreint ses règles disciplinaires, l'ailier n'ayant apparemment pas assisté à une séance d'entraînement prévue.
Moyes a refusé de discuter des détails mais a insisté sur le fait que la décision avait son plein soutien.
"Vous savez probablement que je ne vais pas donner de détails. C'est une décision du club et je la soutiens."
Interrogé sur le fait qu'il se sente trahi par Grealish, l'entraîneur d'Everton a ajouté : "C'est quelque chose dont je ne veux pas trop parler."
Moyes était néanmoins satisfait que la situation ne soit pas devenue une distraction pour ses joueurs restants, qui ont produit une performance convaincante pour éliminer l'opposition de Premier League.
"La seule chose à propos d'Everton, c'est qu'ils ont de vraies bonnes valeurs, tous les joueurs les soutiennent et acceptent ces valeurs, sur le terrain et en dehors. Je pense que les joueurs ont bien fait leur travail ce soir, c'est un petit effectif mais nous faisons de notre mieux pour continuer à relever des défis."
"C'était un match difficile mais je pense que la Premier League est comme ça, les matchs sont assez serrés, vous pouvez défendre pendant 20 minutes puis attaquer. Nous avons marqué à de bons moments, le troisième but a tué le match mais je suis vraiment content de passer, vous pouvez parler des matchs de coupe, la seule chose qui compte vraiment, c'est que vous voulez passer."
Garner a ouvert le score à la 34e minute avec un tir enroulé après que Hackney a aidé le ballon sur son chemin suite à la pression de Tyrique George sur Amar Dedic.
Hackney a ensuite doublé l'avantage d'Everton peu avant la mi-temps, convertissant un centre de Barry d'une finition du premier coup.
L'entraîneur de Newcastle United, Matthias Jaissle, était frustré par la manière dont son équipe a défendu, bien qu'il ait estimé que le score final était sévère pour ses joueurs.
"Nous sommes bien sûr déçus par le résultat. C'est aussi un peu choquant car, dans l'ensemble, le match n'était pas si mauvais."
"Mais c'est l'histoire de la saison jusqu'à présent avec une situation où cela compte vraiment, nous manquons d'approche clinique pour résoudre les situations."
"Pensez juste au premier, c'est encore une zone à faible risque où nous avons dit, dégagez le ballon, rien ne se passe, et quelques secondes plus tard, vous pouvez voir le but sortir de nulle part."
Jaissle était également mécontent des circonstances entourant le deuxième but, croyant que Newcastle aurait dû recevoir un penalty avant qu'Everton ne les punisse en contre-attaque.
"Le deuxième est aussi frustrant, car de mon point de vue, nous méritons d'avoir un penalty de l'autre côté, et ensuite vous manquez cela dans la transition pour défendre leur propre surface, ce qui est encore pour moi difficile à accepter, nous avons des règles claires sur la façon de se comporter dans ces affaires."
"Et le troisième, encore une perte de balle critique lorsque vous êtes en possession, et la position vous punit à ce niveau, c'est assez clair."
Barry a complété le score à la 69e minute, marquant après que Kiernan Dewsbury-Hall a avancé et a délivré le ballon à travers la surface de réparation. Burn a marqué le but de consolation de Newcastle à la 88e minute.
Malgré les problèmes défensifs, Jaissle a insisté sur le fait que son équipe avait créé suffisamment d'opportunités pour rendre le match considérablement plus serré.
"Ce sont des choses que nous devons apprendre rapidement, et d'autre part, je pense que vous avez tous vu le match et les statistiques."
"Nous avons eu de nombreuses, nombreuses occasions, beaucoup d'opportunités de marquer, de grosses chances aussi, et aussi dans leur surface, nous devons être plus cliniques pour obtenir un résultat différent."
Newcastle a également souffert d'une préoccupation liée à une blessure impliquant William Osula, qui n'a pas pu continuer après s'être tordu la cheville en tentant un tir.
"William Osula n'a pas pu continuer, il s'est tordu la cheville à cette occasion lorsqu'il a pris le tir, et avec les deux autres aussi, nous voulions avoir un peu plus d'énergie fraîche à la fin," a déclaré Jaissle.
Moyes a rejeté les suggestions selon lesquelles la perspective d'un quart de finale contre Fleetwood Town de League Two aurait fourni une motivation supplémentaire.
"Je ne l'ai pas formulé de cette manière et je n'ai rien dit aux joueurs du tout. C'était vraiment un grand match de Premier League et essayer de gagner n'est pas facile."
"Ce que nous avons ensuite, vous devez le prendre en votre stride. Quiconque bat Arsenal fait du bon travail."
Everton se préparera maintenant à une autre rencontre avec Newcastle en Premier League lundi, tandis que la victoire en Carabao Cup leur a assuré une place dans le dernier huit.