Sage est sous pression après un début difficile dans sa première saison à Selhurst Park, avec six défaites en neuf matches de Premier League laissant Palace dans la zone de relégation.
Les Eagles ont deux matches importants avant la trêve internationale, accueillant Hoffenheim en Ligue Europa jeudi avant de recevoir Liverpool dans le sud de Londres dimanche.
Ces résultats pourraient s'avérer significatifs pour la position de Sage, Palace envisageant déjà des alternatives possibles s'ils décident de procéder à un changement.
Barry est apparu comme un prétendant sérieux et aurait été sondé par des responsables du club concernant la possibilité de prendre les rênes, rapporte le Mirror. L'homme de 40 ans n'a jamais entraîné une équipe de Premier League, ce qui signifie que ce rôle représenterait sa première opportunité en tant qu'entraîneur principal de haut niveau.
Cependant, il a construit une solide réputation grâce à son travail au niveau des clubs et des équipes nationales. Barry a précédemment travaillé à Chelsea et au Bayern Munich, ainsi qu'aux côtés de Roberto Martínez avec la Belgique et le Portugal.
Sa relation avec Thomas Tuchel a été particulièrement influente dans sa carrière. Barry a travaillé sous la direction de l'Allemand à Chelsea avant de le suivre au Bayern, et a ensuite été nommé dans le staff d'entraîneurs de Tuchel pour l'Angleterre.
Les deux hommes ont depuis prolongé leurs accords avec l'équipe nationale jusqu'au Championnat d'Europe 2028.
L'expérience d'entraîneur de Barry a attiré l'intérêt de clubs à la recherche d'un nouveau manager, tandis que l'opportunité de prendre en charge une équipe de Premier League pourrait être une prochaine étape attrayante.
Pour Crystal Palace, la priorité immédiate reste de décider si Sage peut redresser les résultats de l'équipe. Le Français a été nommé cet été après avoir quitté Lens, mais ses premiers mois en Angleterre se sont révélés difficiles.
La position du club pourrait devenir plus claire après les matches contre Hoffenheim et Liverpool, ce dernier représentant un test significatif avant la trêve internationale.
Barry est compris parmi les options envisagées, plutôt que d'avoir été nommé ou formellement proposé pour le poste. Tout mouvement nécessiterait également une décision sur son avenir avec l'Angleterre, où il fait toujours partie de l'équipe d'entraîneurs de Tuchel.