James Garner, Hayden Hackney y Thierno Barry anotaron para los locales, con Dan Burn marcando un gol de consolación tardío para Newcastle en el Hill Dickinson Stadium.
Grealish fue omitido de la plantilla del Everton después de que el club confirmara que había infringido sus reglas disciplinarias, ya que se informó que el extremo no asistió a una sesión de entrenamiento programada.
Moyes se negó a discutir los detalles, pero insistió en que la decisión contaba con su total apoyo.
"Probablemente sabes que no voy a dar ningún detalle. Es una decisión del club y la apoyo."
Preguntado si se sentía decepcionado por Grealish, el entrenador del Everton añadió: "Es algo de lo que no quiero hablar demasiado."
No obstante, Moyes se mostró complacido de que la situación no se convirtiera en una distracción para sus jugadores restantes, quienes produjeron una actuación convincente para eliminar a la oposición de la Premier League.
"Lo único sobre el Everton es que tienen verdaderos buenos valores, todos los jugadores están detrás de ello y aceptan los valores, dentro y fuera del campo. Creo que los jugadores hicieron un buen trabajo esta noche, es una plantilla pequeña pero estamos haciendo nuestro mejor esfuerzo para seguir desafiando."
"Fue un partido difícil, pero creo que la Premier League es así, los partidos son bastante parejos, puedes estar defendiendo durante 20 minutos y luego atacando. Marcamos los goles en buenos momentos, el tercer gol mató el partido, pero estoy realmente contento de haber pasado, puedes hablar de partidos de copa, lo único que realmente importa es que quieres avanzar."
Garner abrió el marcador en el minuto 34 con un tiro curvado después de que Hackney ayudara al balón en su camino tras la presión de Tyrique George sobre Amar Dedic.
Hackney luego duplicó la ventaja del Everton poco antes del medio tiempo, convirtiendo un centro de Barry con un remate de primera.
El entrenador del Newcastle United, Matthias Jaissle, estaba frustrado por la forma en que su equipo defendió, aunque creía que el marcador final fue severo para sus jugadores.
"Por supuesto que estamos decepcionados con el resultado. También es un poco impactante porque, en general, el juego no fue tan malo.
"Pero es la historia de la temporada hasta ahora con una situación en la que realmente cuenta, nos falta el enfoque clínico para resolver las situaciones.
"Solo piensa en la primera, esta es nuevamente una zona de bajo riesgo donde dijimos, despeja el balón, no pasa nada, y un par de segundos después puedes ver el gol de la nada."
Jaissle también estaba igualmente descontento con las circunstancias que rodearon el segundo gol, creyendo que Newcastle debería haber recibido un penalti antes de que el Everton los castigara en el contraataque.
"El segundo también es frustrante, porque desde mi punto de vista merecemos tener un penalti por otro lado, y luego fallas eso en la transición para defender su propia área, lo cual es nuevamente difícil de aceptar para mí, tenemos reglas claras sobre cómo comportarse en estos asuntos.
"Y el tercero, nuevamente una pérdida crítica de balón cuando estás en posesión, y la posición te está castigando a ese nivel, bastante claro."
Barry completó el marcador en el minuto 69, finalizando después de que Kiernan Dewsbury-Hall avanzara y entregara el balón a través del área penal. Burn cabeceó el gol de consolación de Newcastle en el minuto 88.
A pesar de los problemas defensivos, Jaissle insistió en que su equipo había creado suficientes oportunidades para hacer que el concurso fuera considerablemente más parejo.
"Estas son las cosas que necesitamos aprender rápidamente, y por otro lado creo que todos ustedes también vieron el juego y las estadísticas.
"Tuvimos muchas, muchas ocasiones, muchas oportunidades de marcar, grandes chances también, y también en su área necesitamos ser más clínicos para obtener un resultado diferente."
Newcastle también sufrió una preocupación por una lesión que involucró a William Osula, quien no pudo continuar después de torcerse el tobillo al intentar un tiro.
"William Osula no pudo continuar, se torció el tobillo en esa ocasión cuando tomó el tiro, y con los otros dos también, queríamos tener un poco más de energía fresca al final," dijo Jaissle.
Moyes desestimó las sugerencias de que la perspectiva de un cuarto de final contra el Fleetwood Town de la League Two había proporcionado una motivación adicional.
"No lo formulé de esa manera y no dije nada a los jugadores en absoluto. Este fue un gran partido de la Premier League realmente y tratar de ganar cualquiera no es fácil.
"Lo que tenemos a continuación debes tomarlo con calma. Cualquiera que le gane al Arsenal está haciendo un buen trabajo."
El Everton ahora se preparará para otro encuentro con Newcastle en la Premier League el lunes, mientras que la victoria en la Carabao Cup les ha asegurado un lugar en los últimos ocho.