Anderson, 23, ist derzeit mit England bei der Weltmeisterschaft und hat bereits einen medizinischen Check in Kansas absolviert.
Die Formalitäten des Wechsels werden bei seiner Rückkehr nach England abgeschlossen.
"Manchester City und Nottingham Forest haben sich auf den Transfer von Elliot Anderson geeinigt.
"In der Zwischenzeit wünscht jeder bei Manchester City Elliot und dem England-Team viel Glück bei ihrer Weltmeisterschafts-Kampagne und wir freuen uns darauf, ihn zu gegebener Zeit in Manchester willkommen zu heißen."
Keiner der beiden Vereine hat die Ablösesumme oder die Vertragslaufzeit des Deals bekannt gegeben.
Allerdings berichten gut informierte britische Medien, dass City in der Region von 116 Millionen Pfund für den Mittelfeldspieler zahlen wird. Diese Summe würde Anderson über Jack Grealish als den teuersten Neuzugang des Vereins heben.
Anderson wird sich mit seinen neuen Manchester City-Teamkollegen zusammenschließen, sobald sein Engagement mit England bei der Weltmeisterschaft endet.