Der Premier-League-Club hat ein Angebot für den 26-Jährigen abgegeben, die Gespräche über einen möglichen Transfer sind nun im Gange.
Es bleibt abzuwarten, ob der Wechsel zustande kommt. Anthony kam im Sommer 2024 leihweise zu Burnley, bevor der Wechsel dauerhaft wurde.
Seitdem hat sich der Engländer zu einem wichtigen Spieler für den Club entwickelt. Burnley belegte in der letzten Saison den 19. Platz in der Premier League und wird in der nächsten Saison im Championship spielen.
Anthony hatte dennoch eine produktive Saison, erzielte acht Tore und gab zwei Vorlagen in 37 Ligaspielen, 32 davon als Startelf.
Er hat einen Vertrag mit Burnley bis zum Sommer 2029. Brentford belegte in der letzten Saison den neunten Platz in der Premier League.
Anthony hat zuvor in seiner Karriere für Leeds United und Bournemouth gespielt.