O jogador de 30 anos assinou um contrato em uma cerimônia em Valdebebas ao lado do presidente do clube, Florentino Pérez, com o presidente honorário Pirri também presente.
Dumfries recebeu uma réplica do estádio, um relógio e uma camisa com seu nome antes de posar para fotografias como jogador do Real Madrid pela primeira vez.
"Estou muito orgulhoso de jogar aqui, sou muito grato e estou ansioso para começar a temporada," disse Dumfries.
"Para todos, é um sonho jogar pelo Real Madrid. Estar aqui é uma grande responsabilidade, é claro, porque temos objetivos importantes. Estou muito orgulhoso e muito feliz por estar aqui.
"Estou pronto para começar."
A contratação preenche uma necessidade clara na lateral direita após a saída de Dani Carvajal, dando ao treinador José Mourinho duas opções contrastantes na posição. O Real Madrid ativou a cláusula de liberação de Dumfries, reportada em cerca de €20 milhões, para tirá-lo do Inter de Milão após cinco temporadas fortes na Itália, durante as quais ele fez 207 aparições, marcou 27 gols e forneceu 28 assistências, vencendo dois títulos da Serie A e chegando a duas finais da Liga dos Campeões ao longo do caminho.
"É uma partida muito importante. O primeiro jogo é sempre muito importante e, claro, vamos lá para vencer," disse Dumfries, olhando para a abertura da LaLiga do Real Madrid. "Estou feliz por poder fazer minha estreia na liga. Ansioso para a partida chegar e começar esta nova jornada com todos. Vamos com tudo amanhã."
Seu pedigree europeu é considerável. Na semifinal da Liga dos Campeões da temporada passada contra o Barcelona, Dumfries produziu uma exibição individual memorável, marcando duas vezes e criando três gols adicionais. Agora com 30 anos e no auge de suas forças, ele chega ao Santiago Bernabéu esperando que seu poder e ameaça ofensiva possam ser decisivos.
O desafio não será simples. Dumfries competirá pela posição de lateral direito com Trent Alexander-Arnold, uma das contratações de destaque do clube para a posição, embora Mourinho já tenha experimentado escalar ambos os jogadores juntos, abrindo a porta para um time do Madrid com maior profundidade e variação pelo flanco direito. Dumfries usará a camisa número 24.