Anderson, 23, está atualmente na Copa do Mundo com a Inglaterra e já completou um exame médico em Kansas.
As formalidades da transferência serão finalizadas após seu retorno à Inglaterra.
"O Manchester City e o Nottingham Forest chegaram a um acordo para a transferência de Elliot Anderson.
"Enquanto isso, todos no Manchester City desejam a Elliot e à seleção da Inglaterra a melhor sorte em sua campanha na Copa do Mundo e estamos ansiosos para recebê-lo em Manchester no momento apropriado."
Nenhum dos clubes divulgou o valor ou a duração do contrato envolvido no negócio.
No entanto, a mídia britânica bem informada relata que o City pagará em torno de £116 milhões pelo meio-campista. Esse valor faria de Anderson a contratação mais cara do clube, superando Jack Grealish.
Anderson se juntará a seus novos companheiros de equipe do Manchester City assim que seu envolvimento com a Inglaterra na Copa do Mundo chegar ao fim.