O meio-campista de 27 anos tem apenas dois anos restantes em seu contrato, que vai até junho de 2028, e tem enfrentado problemas persistentes de lesão.
Odegaard fez 36 aparições em todas as competições na temporada passada, mas perdeu um número significativo de partidas devido a lesão e perdeu seu lugar no onze titular.
Sua forma também caiu recentemente, contribuindo para a disposição do Arsenal em sancionar uma venda, diz BBC Sport.
O jornalista turco Selman Öztürk relata que Odegaard já alcançou um acordo pessoal com o Galatasaray.
Björn Kvarme, o agente do jogador, viajou para Istambul na semana passada para ajudar a finalizar a transferência, que Odegaard supostamente aprovou.
Os clubes turcos estão investindo pesadamente no mercado deste verão, à medida que buscam aumentar sua posição no futebol europeu, e negociações formais com o Arsenal são esperadas nas próximas semanas.
O Galatasaray espera concluir o negócio por cerca de €40 milhões, de acordo com o relatório.
O Arsenal também enfrenta a saída de Leandro Trossard, que está no clube desde janeiro de 2023.
O belga marcou oito gols e forneceu dez assistências em 50 partidas competitivas na temporada passada e está sob contrato até o verão de 2027.
O jornalista turco Yağız Sabuncuoğlu agora relata que o Besiktas apresentou uma oferta por Trossard no valor de €18 milhões mais €2 milhões em bônus.
Portanto, o Arsenal enfrenta a perspectiva de perder dois jogadores experientes de ataque antes do início da nova temporada.