Eberl onthulde dat Bayern al positieve gesprekken heeft gevoerd over Gordon, die Newcastle United zou kunnen verlaten als er een geschikt bod wordt gedaan.
"We hadden een zeer goed gesprek en hopen verder te komen," zei Eberl.
De Engelse international, 25, wordt naar verluidt gewaardeerd tussen de €60 miljoen en €90 miljoen en heeft een contract bij Newcastle tot 2030.
Bayern München volgt ook de 16-jarige Hertha-middenvelder Eichhorn, die de interesse van verschillende Europese clubs wekt.
De tiener heeft een afkoopsom die naar verluidt tussen de €10 miljoen en €12 miljoen ligt, waardoor hij een van de meest gewaardeerde talenten in het Duitse voetbal is.
Eberl erkende de interesse van Bayern, maar benadrukte dat er nog geen definitieve beslissing is genomen.
"We zouden ons werk niet goed doen als we niet naar spelers zoals Kenny Eichhorn keken," zei hij.
"Of het gebeurt hangt van veel factoren af."
Bayern wordt verwacht actief te zijn op de transfermarkt terwijl ze hun selectie verfijnen voor het komende seizoen.
Eberl weigerde echter commentaar te geven op andere defensieve doelwitten zoals Josko Gvardiol van Manchester City, of Nathaniel Brown van Eintracht Frankfurt, wat aangeeft dat de onderhandelingen nog in een vroeg stadium zijn over meerdere profielen.
De wervingsstrategie van de club blijft een balans zoeken tussen gevestigde Premier League-talent en elite tienertalent uit de Bundesliga-pijplijn.