Anderson, 23, is momenteel op het Wereldkampioenschap met Engeland en heeft al een medische keuring in Kansas ondergaan.
De formaliteiten van de transfer zullen worden afgerond bij zijn terugkeer naar Engeland.
"Manchester City en Nottingham Forest hebben een overeenkomst bereikt voor de transfer van Elliot Anderson.
"In de tussentijd wenst iedereen bij Manchester City Elliot en de Engelse selectie veel succes in hun Wereldkampioenschap campagne en we kijken ernaar uit om hem op een geschikt moment in Manchester te verwelkomen."
Geen van beide clubs heeft het bedrag of de duur van het contract dat bij de deal betrokken is bekendgemaakt.
Echter, goed geïnformeerde Britse media berichten dat City ongeveer £116 miljoen zal betalen voor de middenvelder. Dat bedrag zou Anderson boven Jack Grealish plaatsen als de duurste aankoop van de club.
Anderson zal zich aansluiten bij zijn nieuwe Manchester City-teamgenoten zodra zijn betrokkenheid bij Engeland op het Wereldkampioenschap ten einde komt.