De 29-jarige staat gepland om maandag naar Engeland te reizen voor een medische keuring, nadat de Bundesliga-club een bod van in eerste instantie £6,8 miljoen heeft geaccepteerd, met een verdere £1,7 miljoen aan potentiële bonussen, volgens de BBC.
Elvedi's transfer beëindigt een 11-jarige samenwerking met Borussia Monchengladbach, waar hij meer dan een decennium in het eerste elftal heeft gespeeld nadat hij van FC Zurich kwam, en herenigt hem met Leeds United-manager Daniel Farke, die eerder met de verdediger in Duitsland heeft samengewerkt.
De veelzijdige centrale verdediger heeft 73 interlands voor Zwitserland gespeeld en maakte deel uit van de selectie die deze zomer aan het Wereldkampioenschap deelnam, wat Farke's gepromoveerde team een aanzienlijke upgrade in ervaring achterin geeft voor hun tweede opeenvolgende Premier League-campagne.
Toen hem na de 4-0 overwinning van Leeds in de voorbereiding op Augsburg naar de deal werd gevraagd, was Farke voorzichtig met het publiekelijk bevestigen van de transfer.
"Ik werk al lang genoeg in het voetbal om te weten dat alles pas definitief is als de medische controles zijn afgerond en al het papierwerk is ondertekend. We hebben eerder situaties zoals deze gezien," zei hij.
"Dus ik spreek alleen over nieuwe spelers als ze officieel zijn aangekondigd en alles is geregeld. Maar ik wil niet liegen, en we verwachten dat er binnen 48 uur iets zal gebeuren."
Elvedi's vertrek zal ook een verdere transfer voor Leeds in gang zetten, met de reserveverdediger Sebastiaan Bornauw die op het punt staat om op een initiële lening naar Hamburg te gaan, inclusief een optie tot koop, waardoor er ruimte vrijkomt in Farke's selectie na de komst van de Zwitserse international.
De verdediger werd niet opgenomen in de selectie van Gladbach voor een recente vriendschappelijke wedstrijd tegen Aston Villa, terwijl de transfer dichterbij kwam, met Sky Duitsland die meldt dat de Duitse club ook een doorverkoopclausule van 15 procent zal ontvangen als onderdeel van de overeenkomst. Gladbach-hoofdcoach Eugen Polanski bevestigde voor die wedstrijd dat Elvedi toestemming had gekregen om met een club te praten, nadat hij de verdediger eerder tot vice-aanvoerder had benoemd in een poging hem te overtuigen een nieuw contract te ondertekenen.
Elvedi speelde 364 wedstrijden in alle competities tijdens zijn tijd bij Gladbach nadat hij in 2015 van FC Zurich kwam, en vestigde zich als een van de meest constante spelers van de Bundesliga-club gedurende meer dan een decennium in Duitsland.
Leeds begint hun Premier League-seizoen volgende zaterdag uit tegen Nottingham Forest, waarbij Farke verwacht wordt zijn nieuwe centrale verdediger beschikbaar te hebben voor selectie zodra de transfer de komende dagen formeel is afgerond.