Ebrima Singhateh zette Sparta op voorsprong in de 35e minuut met een fraaie solo-inspanning, maar de positie van de thuisploeg verslechterde toen Tobias Guddal twee minuten later werd weggestuurd met een tweede gele kaart.
Bournemouth had al een penalty gemist via Lewis Cook, maar profiteerde van hun numerieke superioriteit na de pauze. Adams maakte gelijk in de 57e minuut voordat Evanilson de bezoekers negen minuten voor tijd op voorsprong zette. Rayan voltooide de score in de 90e minuut.
Sparta-coach Brian Priske was trots op de eerste helft van zijn spelers, ondanks de uiteindelijke nederlaag.
"De spelers deden het echt goed in de eerste helft en we waren de beste ploeg tot de rode kaart," vertelde hij UEFA.
"Het was duidelijk dat het vanaf daar moeilijk zou worden. We deden het goed totdat we het doelpunt kregen, maar ik moet mijn spelers prijzen die een sterke Premier League-ploeg lange tijd domineerden."
Priske betreurde ook de manier waarop Bournemouth scoorde, wijzend op fouten in balbezit.
"We wisten dat we in de tweede helft zouden lijden, maar we deden ons best om compact te zijn. Het is jammer dat alle drie de doelpunten kwamen uit balverlies van onze kant, een of twee daarvan waren te gemakkelijk. Aan het einde toonde Bournemouth aan dat ze een zeer goede Premier League-ploeg zijn."
Hij was bijzonder blij met de openingstreffer van Singhateh, die kwam uit een lange pass van de doelman.
"Het was een briljant doelpunt, we weten wat Ebrima Singhateh ons kan bieden in deze transities. Het was een perfecte pass van de doelman en [goede uitvoering] van Singha om het af te ronden."
Bournemouth-manager Marco Rose was tevreden met de reactie van zijn team na een moeilijke openingsperiode.
"We misten een penalty en kregen een doelpunt tegen, maar onze reactie in de tweede helft was echt goed," zei hij.
"We wisten dat we een goed basiselftal hadden en een echt goede bank om wissels te maken. Het is een echt goed teken voor de selectie."
Rose voegde toe: "Geen schone lei, maar we hebben gewonnen en dat is het belangrijkste. [Het was] een moeilijke wedstrijd tegen een goede tegenstander. Ze maakten het ons echt moeilijk om ons spel te spelen. We hadden het in het begin een beetje moeilijk met onze combinaties, maar we waren klaar en we hadden een goede houding."
De Bournemouth-baas hoopt dat zijn ploeg hun Europese vooruitgang verder kan voortzetten.
"We willen zo ver mogelijk gaan. We genieten van het moment, we genieten ervan om in Europa te zijn en onze fans reisden weer met ons mee. Het eerste wat we willen is naar de [knockoutfase] gaan en dan zullen we wel zien."