De 27-jarige middenvelder heeft nog maar twee jaar op zijn contract, dat loopt tot juni 2028, en heeft te maken gehad met aanhoudende blessureproblemen.
Odegaard speelde 36 wedstrijden in alle competities afgelopen seizoen, maar miste een aanzienlijk aantal wedstrijden door blessures en verloor zijn plaats in de basiself.
Zijn vorm is ook de laatste tijd gedaald, wat bijdraagt aan de bereidheid van Arsenal om een verkoop goed te keuren, zegt BBC Sport.
De Turkse journalist Selman Öztürk meldt dat Odegaard al persoonlijke voorwaarden heeft bereikt met Galatasaray.
Björn Kvarme, de agent van de speler, reisde vorige week naar Istanbul om te helpen de transfer af te ronden, die Odegaard naar verluidt heeft goedgekeurd.
Turkse clubs investeren deze zomer fors in de markt, terwijl ze hun positie in het Europese voetbal willen versterken, en formele onderhandelingen met Arsenal worden in de komende weken verwacht.
Galatasaray hoopt de deal te voltooien voor ongeveer €40 miljoen, volgens het rapport.
Arsenal staat ook voor de vertrek van Leandro Trossard, die sinds januari 2023 bij de club is.
De Belg scoorde acht doelpunten en gaf tien assists in 50 competitieve wedstrijden afgelopen seizoen en heeft een contract tot de zomer van 2027.
De Turkse journalist Yağız Sabuncuoğlu meldt nu dat Besiktas een bod heeft gedaan voor Trossard ter waarde van €18 miljoen plus €2 miljoen aan bonussen.
Arsenal staat dus voor de mogelijkheid om twee ervaren aanvallende spelers te verliezen voordat het nieuwe seizoen van start gaat.