Il 30enne ha messo la penna su carta in una cerimonia a Valdebebas insieme al presidente del club Florentino Pérez, con il presidente onorario Pirri presente.
Dumfries ha ricevuto una replica dello stadio, un orologio e una maglia con il suo nome prima di posare per fotografie come giocatore del Real Madrid per la prima volta.
"Sono molto orgoglioso di giocare qui, sono molto grato e non vedo l'ora di iniziare la stagione," ha detto Dumfries.
"Per tutti è un sogno giocare per il Real Madrid. Essere qui è una grande responsabilità, ovviamente, perché abbiamo obiettivi importanti. Sono molto orgoglioso e molto felice di essere qui.
"Sono pronto per iniziare."
La firma riempie un chiaro bisogno nel ruolo di terzino destro dopo la partenza di Dani Carvajal, dando all'allenatore Jose Mourinho due opzioni contrastanti nella posizione. Il Real Madrid ha attivato la clausola di uscita di Dumfries, riportata intorno ai 20 milioni di euro, per strapparlo all'Inter dopo cinque forti stagioni in Italia, durante le quali ha collezionato 207 presenze, segnato 27 gol e fornito 28 assist, vincendo due titoli di Serie A e raggiungendo due finali di Champions League lungo il cammino.
"È una partita molto importante. La prima partita è sempre molto importante e ovviamente andremo lì per vincere," ha detto Dumfries, guardando avanti all'apertura di LaLiga del Real Madrid. "Sono felice di poter fare il mio debutto in campionato. Non vedo l'ora che arrivi la partita e di iniziare questo nuovo viaggio con tutti. Andiamo per farcela domani."
Il suo pedigree europeo è considerevole. Nella semifinale di Champions League della scorsa stagione contro il Barcellona, Dumfries ha prodotto una memorabile prestazione individuale, segnando due volte e creando tre ulteriori gol. Ora a 30 anni e al culmine delle sue capacità, arriva al Santiago Bernabéu sperando che la sua potenza e minaccia offensiva possano rivelarsi decisive.
La sfida non sarà semplice. Dumfries si contenderà il ruolo di terzino destro con Trent Alexander-Arnold, uno dei principali acquisti del club per la posizione, anche se Mourinho ha già sperimentato di schierare entrambi i giocatori insieme, aprendo la porta a una squadra di Madrid con maggiore profondità e varietà lungo il lato destro. Dumfries indosserà la maglia numero 24.