Il centrocampista di 27 anni ha solo due anni rimasti sul suo contratto, che scade a giugno 2028, ed è stato colpito da problemi di infortunio persistenti.
Odegaard ha fatto 36 presenze in tutte le competizioni la scorsa stagione, ma ha saltato un numero significativo di partite a causa di infortuni e ha perso il posto nell'undici titolare.
La sua forma è anche diminuita recentemente, contribuendo alla disponibilità dell'Arsenal a autorizzare una vendita, dice BBC Sport.
Il giornalista turco Selman Öztürk riporta che Odegaard ha già raggiunto un accordo personale con il Galatasaray.
Björn Kvarme, l'agente del giocatore, è volato a Istanbul la scorsa settimana per aiutare a finalizzare il trasferimento, che Odegaard ha riportato di aver approvato.
I club turchi stanno investendo pesantemente nel mercato di quest'estate mentre cercano di accrescere la loro posizione nel calcio europeo, e si prevedono negoziazioni formali con l'Arsenal nelle prossime settimane.
Il Galatasaray spera di completare l'affare per circa 40 milioni di euro, secondo il rapporto.
L'Arsenal deve anche affrontare la partenza di Leandro Trossard, che è al club da gennaio 2023.
Il belga ha segnato otto gol e fornito dieci assist in 50 partite competitive la scorsa stagione ed è sotto contratto fino all'estate del 2027.
Il giornalista turco Yağız Sabuncuoğlu riporta ora che il Besiktas ha presentato un'offerta per Trossard del valore di 18 milioni di euro più 2 milioni di euro in bonus.
L'Arsenal deve quindi affrontare la prospettiva di perdere due giocatori d'attacco esperti prima dell'inizio della nuova stagione.