Le joueur de 30 ans a signé un contrat lors d'une cérémonie à Valdebebas en présence du président du club Florentino Pérez, avec le président honoraire Pirri également présent.
Dumfries a reçu une réplique du stade, une montre et un maillot portant son nom avant de poser pour des photographies en tant que joueur du Real Madrid pour la première fois.
"Je suis très fier de jouer ici, je suis très reconnaissant et j'ai hâte de commencer la saison," a déclaré Dumfries.
"Pour tout le monde, c'est un rêve de jouer pour le Real Madrid. Être ici est une grande responsabilité, bien sûr, car nous avons des objectifs importants. Je suis très fier et très heureux d'être ici.
"Je suis prêt à commencer."
La signature comble un besoin clair au poste de latéral droit suite au départ de Dani Carvajal, offrant à l'entraîneur principal Jose Mourinho deux options contrastées à ce poste. Le Real Madrid a activé la clause de libération de Dumfries, estimée à environ 20 millions d'euros, pour le faire venir d'Inter Milan après cinq saisons solides en Italie, au cours desquelles il a effectué 207 apparitions, marqué 27 buts et fourni 28 passes décisives, remportant deux titres de Serie A et atteignant deux finales de Ligue des champions en cours de route.
"C'est un match très important. Le premier match est toujours très important et bien sûr, nous allons là-bas pour gagner," a déclaré Dumfries, en prévision de l'ouverture de LaLiga du Real Madrid. "Je suis heureux de pouvoir faire mes débuts en ligue. J'attends avec impatience l'arrivée du match et le début de ce nouveau voyage avec tout le monde. Allons-y demain."
Son pedigree européen est considérable. Lors de la demi-finale de la Ligue des champions de la saison dernière contre Barcelone, Dumfries a produit une performance individuelle mémorable, marquant deux fois et préparant trois autres buts. Maintenant âgé de 30 ans et au sommet de ses capacités, il arrive au Santiago Bernabéu en espérant que sa puissance et sa menace offensive peuvent s'avérer décisives.
Le défi ne sera pas simple. Dumfries va rivaliser pour le poste de latéral droit avec Trent Alexander-Arnold, l'une des recrues phares du club pour ce poste, bien que Mourinho ait déjà expérimenté le fait de faire jouer les deux joueurs ensemble, ouvrant la porte à une équipe de Madrid avec plus de profondeur et de variation sur le flanc droit. Dumfries portera le maillot numéro 24.