Ebrima Singhateh a mis Sparta en tête à la 35e minute avec un bel effort en solo, mais la position des hôtes s'est détériorée lorsque Tobias Guddal a été expulsé deux minutes plus tard pour un deuxième carton jaune.
Bournemouth avait déjà raté un penalty par Lewis Cook, mais a profité de sa supériorité numérique après la pause. Adams a égalisé à la 57e minute avant qu'Evanilson ne mette les visiteurs en tête neuf minutes avant la fin. Rayan a complété le score à la 90e minute.
L'entraîneur de Sparta, Brian Priske, était fier de la performance de ses joueurs en première mi-temps, malgré la défaite finale.
"Les joueurs ont vraiment bien joué en première mi-temps et nous étions la meilleure équipe jusqu'au carton rouge," a-t-il déclaré UEFA.
"Il était évident que cela allait devenir difficile à partir de là. Nous avons bien joué jusqu'à ce que nous encaissions le but, mais je dois féliciter mes joueurs qui ont dominé une solide équipe de Premier League pendant une longue période."
Priske a également regretté la manière dont Bournemouth a marqué, pointant du doigt des erreurs en possession.
"Nous savions que nous allions souffrir en seconde mi-temps, mais nous avons essayé d'être compacts. C'est dommage que les trois buts soient venus de pertes de balle de notre part, un ou deux d'entre eux étaient trop faciles. À la fin, Bournemouth a montré qu'ils sont une très bonne équipe de Premier League."
Il était particulièrement satisfait de l'ouverture de Singhateh, qui est venue d'une longue passe du gardien.
"C'était un but brillant, nous savons ce qu'Ebrima Singhateh peut nous offrir dans ces transitions. C'était une passe parfaite du gardien et [une bonne exécution] de Singha pour le finir."
L'entraîneur de Bournemouth, Marco Rose, était satisfait de la réaction de son équipe après une période d'ouverture difficile.
"Nous avons raté un penalty et encaissé un but, mais notre réaction en seconde mi-temps a été vraiment bonne," a-t-il déclaré.
"Nous savions que nous avions un bon onze de départ et un très bon banc pour faire des changements. C'est un très bon signe pour l'équipe."
Rose a ajouté : "Pas de clean sheet mais nous avons gagné et c'est la chose la plus importante. [C'était] un match difficile contre un bon adversaire. Ils ont rendu vraiment difficile pour nous de mettre notre jeu en place. Nous avons un peu peiné dans nos combinaisons au début mais nous étions prêts et nous avions une bonne attitude."
Le patron de Bournemouth espère que son équipe pourra poursuivre son avancée européenne.
"Nous aimerions aller aussi loin que possible. Nous profitons du moment, nous aimons être en Europe et nos fans ont de nouveau voyagé avec nous. La première chose est que nous voulons aller à la [phase à élimination directe] et ensuite nous verrons."