Le milieu de terrain de 27 ans n'a plus que deux ans de contrat, qui court jusqu'en juin 2028, et a été frappé par des problèmes de blessures persistants.
Odegaard a fait 36 apparitions dans toutes les compétitions la saison dernière, mais a manqué un nombre significatif de matchs en raison de blessures et a perdu sa place dans le onze de départ.
Sa forme a également diminué ces derniers temps, contribuant à la volonté d'Arsenal de sanctionner une vente, dit BBC Sport.
Le journaliste turc Selman Öztürk rapporte qu'Odegaard a déjà atteint un accord personnel avec Galatasaray.
Björn Kvarme, l'agent du joueur, s'est rendu à Istanbul la semaine dernière pour aider à finaliser le transfert, que Odegaard aurait approuvé.
Les clubs turcs investissent massivement sur le marché de cet été alors qu'ils cherchent à renforcer leur position dans le football européen, et des négociations formelles avec Arsenal sont attendues dans les semaines à venir.
Galatasaray espère finaliser l'accord pour environ 40 millions d'euros, selon le rapport.
Arsenal fait également face au départ de Leandro Trossard, qui est au club depuis janvier 2023.
Le Belge a marqué huit buts et fourni dix passes décisives en 50 matchs compétitifs la saison dernière et est sous contrat jusqu'à l'été 2027.
Le journaliste turc Yağız Sabuncuoğlu rapporte maintenant que Besiktas a soumis une offre pour Trossard d'une valeur de 18 millions d'euros plus 2 millions d'euros en bonus.
Arsenal fait donc face à la perspective de perdre deux joueurs offensifs expérimentés avant le début de la nouvelle saison.