El jugador de 30 años firmó un contrato en una ceremonia en Valdebebas junto al presidente del club, Florentino Pérez, con el presidente honorario Pirri también presente.
Dumfries recibió una réplica del estadio, un reloj y una camiseta con su nombre antes de posar para fotografías como jugador del Real Madrid por primera vez.
"Estoy muy orgulloso de jugar aquí, estoy muy agradecido y tengo muchas ganas de comenzar la temporada," dijo Dumfries.
"Para todos es un sueño jugar para el Real Madrid. Estar aquí es una gran responsabilidad, por supuesto, porque tenemos objetivos importantes. Estoy muy orgulloso y muy feliz de estar aquí.
"Estoy listo para comenzar."
La firma cubre una necesidad clara en el lateral derecho tras la salida de Dani Carvajal, dando al entrenador José Mourinho dos opciones contrastantes en la posición. El Real Madrid activó la cláusula de rescisión de Dumfries, reportada en alrededor de 20 millones de euros, para llevarlo lejos del Inter de Milán después de cinco temporadas fuertes en Italia, durante las cuales hizo 207 apariciones, anotó 27 goles y proporcionó 28 asistencias, ganando dos títulos de Serie A y alcanzando dos finales de la Liga de Campeones en el camino.
"Es un partido muy importante. El primer partido siempre es muy importante y, por supuesto, vamos a ir allí a ganar," dijo Dumfries, mirando hacia el partido inaugural de LaLiga del Real Madrid. "Estoy feliz de poder hacer mi debut en la liga. Espero con ansias que llegue el partido y comenzar este nuevo viaje con todos. Vamos a por ello mañana."
Su pedigree europeo es considerable. En la semifinal de la Liga de Campeones de la temporada pasada contra el Barcelona, Dumfries produjo una memorable actuación individual, anotando dos veces y asistiendo en tres goles más. Ahora con 30 años y en la cúspide de sus poderes, llega al Santiago Bernabéu esperando que su potencia y amenaza ofensiva puedan ser decisivas.
El desafío no será sencillo. Dumfries competirá por el rol de lateral derecho con Trent Alexander-Arnold, una de las contrataciones más destacadas del club para la posición, aunque Mourinho ya ha experimentado con alinear a ambos jugadores juntos, abriendo la puerta a un equipo del Madrid con mayor profundidad y variación por el flanco derecho. Dumfries llevará la camiseta número 24.