Anderson, 23, está actualmente en la Copa del Mundo con Inglaterra y ya ha completado un examen médico en Kansas.
Las formalidades del traslado se finalizarán a su regreso a Inglaterra.
"Manchester City y Nottingham Forest han llegado a un acuerdo para el traspaso de Elliot Anderson.
"Mientras tanto, todos en Manchester City le desean a Elliot y al equipo de Inglaterra la mejor de las suertes en su campaña de la Copa del Mundo y esperamos darle la bienvenida a Manchester en su debido momento."
Ninguno de los clubes ha revelado la tarifa o la duración del contrato involucrado en el acuerdo.
Sin embargo, medios británicos bien informados informan que City pagará alrededor de £116 millones por el centrocampista. Esa tarifa llevaría a Anderson más allá de Jack Grealish como el fichaje más caro del club.
Anderson se unirá a sus nuevos compañeros de equipo de Manchester City una vez que su participación con Inglaterra en la Copa del Mundo llegue a su fin.