Rodriguez ha firmado un contrato de cinco años en el Vitality Stadium, dando a Marco Rose una opción adicional en ataque junto a Evanilson antes de la primera campaña europea del Bournemouth.
El internacional uruguayo llega tras una fuerte temporada 2025/26 en La Liga, anotando siete goles y sumando cinco asistencias en 24 titularidades y 10 apariciones como suplente para Elche, con dos de esos goles llegando contra el Real Madrid y el Barcelona.
Nacido en Palamós, Rodriguez comenzó su carrera juvenil en Girona antes de que la academia La Fábrica del Real Madrid lo fichara en 2020. Pasó cinco años en la capital española, haciendo su debut en el primer equipo bajo Carlo Ancelotti a los 18 años en enero de 2023 y asistiendo en un gol en su debut en La Liga. Su primer gol para el club llegó en su siguiente aparición en liga, un dramático gol del empate en el derbi madrileño, saltando para cabecear un córner de Luka Modric contra el Atletico Madrid.
Rodriguez continuó haciendo 10 apariciones en el primer equipo para los campeones europeos en 15 ocasiones antes de un préstamo a Getafe, y firmó por Elche en el verano de 2025.
El jefe de operaciones de fútbol del Bournemouth, Tiago Pinto, dijo: "Estamos muy contentos de fortalecer nuestras opciones ofensivas con un delantero joven tan talentoso. Para alguien tan joven, Alvaro ya tiene una buena cantidad de experiencia a un nivel muy alto y llega tras haber jugado un papel importante para Elche en La Liga la temporada pasada.
"Creemos que tiene un pedigrí excepcional y un enorme potencial, además de ser capaz de tener un impacto inmediato mientras nos preparamos para una emocionante campaña que incluye fútbol europeo. Estamos ansiosos por darle la bienvenida al grupo y ver cómo continúa su desarrollo bajo Marco."
Rodriguez dijo que firmar por los Cherries cumplió una ambición de larga data.
"Se siente como un gran privilegio estar aquí. Siempre he querido jugar en la Premier League y ahora, en mi cumpleaños, ese sueño se ha hecho realidad. Ha sido un sueño desde que era niño. Cuando mi agente me dijo que el Bournemouth estaba interesado, no podía creerlo. Todo lo que he experimentado hasta ahora me ha preparado para este próximo capítulo, y ahora quiero seguir mejorando y mostrar lo que puedo hacer."
La firma marca el primer fichaje del Bournemouth en la ventana de verano mientras se preparan para una temporada que incluirá su primera aparición en competiciones europeas.