El extremo de 22 años, que ha sido descrito como el próximo Alexis Sánchez, ha sido vinculado recientemente con un traslado al Emirates Stadium mientras Mikel Arteta busca reforzar su delantera.
Osorio, cuyo contrato en el MCH Arena expira en junio de 2030, participó 49 veces en todas las competiciones para el equipo danés la temporada pasada, anotando ocho goles y proporcionando 10 asistencias.
Desempeñando un papel clave en el equipo de Mike Tullberg, el internacional chileno ayudó a Midtjylland a ganar la Copa Danesa.
Sus impresionantes actuaciones no pasaron desapercibidas, atrayendo supuestamente el interés de algunos de los principales clubes europeos, incluyendo Arsenal.
El mes pasado, hablando con el medio chileno ADN Deportes, el director deportivo de Midtjylland confirmó que Arsenal ha estado siguiendo a Osorio.
"Sabemos que Arsenal ha estado interesado en Osorio, pero también sabemos que otros clubes de la Premier League han estado en la misma situación", dijo Kristian Kjaer, quien luego explicó por qué el chileno podría estar listo para probarse en la máxima categoría inglesa.
"En mi opinión, la Premier League le queda muy bien porque tiene una mentalidad muy trabajadora", continuó el exscout de Brentford.
"Sus transiciones defensivas son increíbles, su velocidad máxima es increíble. Es un extremo derecho zurdo que puede ir a cualquiera de los lados de su oponente directo. Tiene todo. En Chile, se le considera el próximo Alexis Sánchez. Creo que puede marcar la diferencia en la Premier League."
Según ADN Deportes, Benfica se ha unido a la carrera para fichar a Osorio.
El informe afirma que Marco Silva era un admirador del chileno durante su tiempo en Fulham y ahora quiere llevarlo a Lisboa.
Añade que Osorio podría estar disponible por €12 millones, que son £10.3 millones, hasta €15 millones, que son £12.9 millones, pero Midtjylland aún no ha establecido un precio oficial.
En este momento, sigue sin estar claro si Arsenal presentará una oferta por el delantero, pero Arteta está ciertamente interesado en reforzar su delantera este verano.