Der 27-jährige Mittelfeldspieler hat nur noch zwei Jahre auf seinem Vertrag, der bis Juni 2028 läuft, und wurde von hartnäckigen Verletzungsproblemen getroffen.
Odegaard absolvierte in der letzten Saison 36 Einsätze in allen Wettbewerben, verpasste jedoch eine erhebliche Anzahl von Spielen aufgrund von Verletzungen und verlor seinen Platz in der Startelf.
Seine Form hat sich in letzter Zeit ebenfalls verschlechtert, was zu Arsenals Bereitschaft beiträgt, einen Verkauf zu genehmigen, sagt BBC Sport.
Der türkische Journalist Selman Öztürk berichtet, dass Odegaard bereits persönliche Vereinbarungen mit Galatasaray getroffen hat.
Björn Kvarme, der Agent des Spielers, reiste letzte Woche nach Istanbul, um den Wechsel abzuschließen, den Odegaard Berichten zufolge genehmigt hat.
Türkische Vereine investieren in diesem Sommermarkt stark, da sie ihre Stellung im europäischen Fußball ausbauen möchten, und formelle Verhandlungen mit Arsenal werden in den kommenden Wochen erwartet.
Galatasaray hofft, den Deal für rund 40 Millionen Euro abzuschließen, so der Bericht.
Arsenal sieht sich auch dem Abgang von Leandro Trossard gegenüber, der seit Januar 2023 im Verein ist.
Der Belgier erzielte in 50 Pflichtspielen in der letzten Saison acht Tore und bereitete zehn Treffer vor und hat einen Vertrag bis zum Sommer 2027.
Der türkische Journalist Yağız Sabuncuoğlu berichtet nun, dass Besiktas ein Angebot für Trossard in Höhe von 18 Millionen Euro plus 2 Millionen Euro an Boni abgegeben hat.
Arsenal sieht sich daher der Aussicht gegenüber, zwei erfahrene Offensivspieler zu verlieren, bevor die neue Saison beginnt.